QUESTIONS D'EXAMENS

Quelques problèmes sur les surfaces réglées du second degré,

526. Généralités sur ces surfaces. — Les seules surfaces réglées du second degré qui ne sont pas des cônes ou des cylindres sont Vhyperhoîoide à une nappe et le paraboloide hyperbolique.

L*hyperboloIde à une nappe est engendré par une droite qui s^appuie sur trois droites fixes ou directrices non situées deux à deux dans le même plan et non parallèles au même plan : la surface gauche de révolution est un hyperboloïde à une nappe.

11 est aisé, d'après cela, de déterminer une génératrice quelconque de cette surface. Soient en effet A, B, G les trois directrices. Toute génératrice rencontrant les trois directrices est située dans un plan passant par Tune quelconque d'entre elles et rencontrant les deux autres aux mêmes points que la génératrice, il en résulte que si un plan quelconque passant par A rencontre B et G aux points respectifs P et Q, la droite PQ est une génératrice de Thyperboloïde.

Le paraboloïde hyperbolique peut être engendré de deux manières : soit par une droite assujettie à rencontrer deux droites fixes, tout en demeurant parallèle à un plan fixe ; soit par une droite assujettie à rencontrer trois droites fixes, parallèles au même plan mais non situées deux à deux dans le même plan. Quel que soit le mode de génération adopté, la construction d'une génératrice quelconque de la surface en résulte bien facilement. Dans le premier cas il suffit de couper les deux directrices par un plan parallèle au plan directeur; dans le second cas, on procède comme pour rhyperbololde à une nappe.

L'hyperboloïde à une nappe admet deux systèmes de génératrices rectilignes jouissant des propriétés suivantes :

Deux génératrices de même système ne se rencontrent jamais et ne sont jamais parallèles.

Deux génératrices de systèmes différents se rencontrent toujours ou sont parallèles .

Par chaque point de la surface il passe une génératrice de chaque système et une seule, et ces deux génératrices déterminent le plan tangent en ce point.

Si, par le centre de la surface, on mène les parallèles aux génératrices de Tun ou de l'autre système, le lieu géométrique de ces parallèles est un cône de second ordre qu'on appelle le cône asymptote de la surface.

11 suit de là que si Ton considère une génératrice G de ce cône, il y a une génératrice de chaque système parallèle à G ; ces deux génératrices se rencontrent à Tinfini et déterminent un plan tangent dont le point de contact est à Tinfini : ce plan s'appelle un plan asymptote.

Un plan asymptote est tangent au cône asymptote, de sorte que le cône asymptote peut être considéré comme Tenveloppe des plans asymptotes, et tout plan tangent au cône asymptote coupe la surface suivant deux droites parallèles à la génératrice de contact du plan et du cône.

Le parabololde hyperbolique admet également deux systèmes de génératrices rectilignes jouissant des propriétés suivantes :

Les génératrices de Tun des systèmes sont parallèles à un plan P et les génératrices de l'autre système sont parallèles à un plan U ^ les plans P et Q s'appellent les plans directeurs de la surface, et il y a une génératrice de cette surface parallèle à toute direction de Tun des plans directeurs. Il y a toutefois exception quand la direction est l'intersection des deux plans directeurs .

Deux génératrices de même système ne se rencontrent jamais et ne sont pas parallèles.

Deux génératrices de systèmes différents se rencontrent toujours à distance finie quand elles sont toutes les deux à distance finie.

Par tout point de la surface il passe une génératrice de chaque système et une seule, et ces deux génératrices déterminent le plan tangent à la surface en ce point.

Tout plan parallèle à un pian directeur coupe la surface suivant une droite à distance finie et suivant une droite à l'infini. On peut donc considérer ce plan comme un plan tangent dont le point de contact est à Tinfini sur la génératrice à distance finie .

Ajoutons que ces dernières propriétés, qu'il s'agisse de Thyperboloïde à une nappe ou du parabololde hyperbolique, se démontrent dans tous les cours de Géométrie analytique. Nous nous contenterons donc de les avoir rappelées.

527. Plan tangent en un point. — Le plan tangent en un point est déterminé par les deux génératrices de la surface qui passent par ce point. D'après cela, soient A et B deux génératrices de même système, G et D

QUESTIONS d'examens 497

deux autres génératrices n*appartenant pas au même système que A et B, et M le point. Le plan tangent en M est déterminé : i<> par la, droite qui passe par M et qui s*appuie sur A et sur B ; 2^ par la droite qui passe par M et qui s'appuie sur G et sur D.

Dans la plupart des cas on connaît Tune de ces droites et il suffit alors de construire l'autre.

Quand la surface est un paraboloïde, les constructions de ces deux droites se simplifient en observant qu^elles sont parallèles respectivement aux deux plans directeurs.

528. Point de contact du plan passant par une génératrice. — Tout plan passant par une génératrice d*une quadrique réglée est tangent en un point de cette génératrice. 11 coupe la surface suivant une autre génératrice dont le point de rencontre avec la première est le point de contact demandé. Si on appelle G la génératrice donnée, Gi et Gs deux autres génératrices de même système que G, le plan considéré passant par G coupe Gi et G2 aux points respectifs Ai et As dont la ligne de jonction rencontre G au point demandé.

529. Plans tangents passant par un point donné à distance finie ou infinie. — Le problème étant indéterminé, on le détermine en assujettissant le point de contact à être sur une génératrice donnée. Le plan tangent est alors celui qui passe par cette génératrice et par le point, et Ton a vu plus haut comment on détermine son point de contact.

530. Contours apparents de la surface. — Le contour apparent iiorizontal étant le lieu des points de contact des plans tangents verticaux, on Tobtient en cherchant les points de contact des plans projetant horizontalement les diverses génératrices.

On obtient d'une manière analogue le contour apparent vertical.

531. Section plane d'un paraboloîde hyperbolique. — On obtient un point quelconque de la section et la tangente en ce point par la méthode ordinaire.

On obtient les points à Tinfini en cherchant les génératrices qui sont parallèles au plan sécant. Soient P le plan sécant, Pi et P2 les deux plans directeurs, Ai et A2 les droites suivant lesquelles le plan P coupe les deux plans respectifs Pi et P2. Les directions de Ai et de Aa sont les directions asymptotiques.

Pour avoir les asymptotes, il faut trouver d^abord la génératrice du premier système parallèle à Ai et la génératrice du deuxième système parallèle à A2. Si Gi et G2 sont ces deux génératrices respectives, il faut ensuite déterminer les intersections du plan P avec les plans tangents au point à l'infini sur Gi et au point à Tinfini sur G2. Ces deux plans tan-

ANTOMARI. — GÉOM. DBSCR. 32

gents sont d'ailleurs les pians menés par Gi parallèlement à Pi et par G2 parallèlement à Pa.

Ajoutons que Gi est parallèle à Aj et rencontre deux génératrices quelconques non parallèles à Pi. Remarque analogue pour Gs.

532. Points de rencontre d'une droite et d*un pnrnboloîde hyperbolique. — i.a section du paraboloîde par Tun des plans projetant l.i droite est une hyperbole dont on sait déterminer les asymptotes et un point. On sait donc trouver les points de rencontre de cette hyperbole et de la droite : ces points sont les points demandés.

533. Génératrices cominuDes à deux paraboloïdes qui ont un plan directeur comman et une génératrice commune non parallèle à eu plan — Ce problème est un. cas particulier du précédent. Si en effet on appelle G la génératrice commune, Gi et G( deux génératrices de même système que G appartenant respectivement aux deux paraboloïdes^ les deux génératrices cherchées passent respectivement par les points de rencontre de G'i avec le paraboloîde qui contient G et Gi. Si A estTun de ces points, une des génératrices cherchées s*appuie sur G et sur Gi et, de plus, elle est située dans le plan mené par A parallèlement au plan directeur commun ; on a ainsi des conditions surabondantes pour la déterminer.

534. Trouver sur un hyperboloîde aune nappe les génératrices paralièlles ik un plan donné. — Supposons Thyperbololde défini par trois directrices A, B, G, et soit P le plan donné. Considérons le plan P comme Tun des plans directeurs d*un paraboloîde hyperbolique passant par A et par B. Les droites cherchées sont alors les génératrices de ce paraboloîde qui sont parallèles au plan P et qui rencontrent G. Pour les obtenir, il suffît donc de chercher les points de rencontre du paraboloîde et de la droite C, problème qui a été résolu plus haut.

Le problème admet quatre solutions, car deux des génératrices cherchées sont de systèmes différents de A, B, C et deux autres de même système que A, B, C. Ces quatre génératrices sont deux à deux parallèles.

535. Mener à une quadrique réglée les plans tangents parallèles à un plan donné. — Appelons P le plan donné et distinguons deux cas suivant que la surface est une hyperboloîde ou un paraboloîde.

i^ Si la surface est un hyperboloîde, il suffit de trouver deux génératrices rectilignes de même système parallèles au plan P, problème qu^on Tient de résoudre. Les plans menés par ces droites respectives parallèle- •ment au plan P sont les plans tangents demandés.

2^ Si la surface est un paraboloîde, en appelant Pi et P2 les deux plans 4irecteurs, Ai et A2 les droites d'intersection de ces plans respectifs et du plan P, il suffit de construire la génératrice parallèle à Ai et la génératrice parallèle à As. Ces deux génératrices de systèmes différents déterminent le seul plan tangent répondant à la question.

QUESTIONS d'examens 499

536. Section plane d*un hyperboloïde à une nappe. — Supposons toujours Thyperboloïde défini par trois directrices et soit P le plan sécant. On obtient un point quelconque de la section et la tangente en ce point par le procédé ordinaire.

On obtient les points à l'infini, quand il y en a, en déterminant les génératrices de la surface parallèles au plan P. Nous avons vu que ces génératrices, au nombre de quatre, sont deux à deux parallèles. Soient Gi et G| deux génératrices parallèles et parallèles au plan P; soient de même Os et G^ deux autres génératrices remplissant les mêmes conditions. L'asymptote parallèle à Gi et à Gj est évidemment Tintersection du plan P avec le plan de ces deux droites ; pareillement Tasymptote parallèle à G2 et à G, est l'intersection du plan P avec le plan de ces deux droites.

537. Points de rencontre d'une droite et d*un hyperboloïde à une nappe. —Soient A, B, G les trois directrices de Tbyperboloïde et D la droite. Goupons la surface par le plan mené par D parallèlement à Tune des droites A, B ou G, parallèlement à A par exemple : soit P ce plan. La section est une hyperbole dont les points de rencontre avec D sont les points demandés, il y a tout avantage à défmir cette hyperbole par ses asymptotes et par un point, car on sait trouver les points de rencontre d'une droite avec une hyperbole ainsi définie. On a vu d'ailleurs plus haut comment on détermine les asymptotes d'une section plane. Au surplus, ce. dernier problème se simplifie dans le cas actuel, puisque Tune des asymptotes est parallèle à A et que l'autre est la deuxième droite d'intersection de l'hyperboloïde avec le plan mené par A parallèlement au plan P.

538. Remarque. — On peut aussi trouver les points de rencontre d'une droite avec une quadriquc réglée en cherchant les points doubles de deux divisions homograpbiques. Mais les constructions, compliquées dans ton» les cas, ne sont pas plus simples que celles qui résultent des solutions indiquées aux n»* 532 et 537.

On peut voir à ce sujet une note de M. Roubaudi dans la Revue de Matftématiques spéciales {i%9d y p. 394).

o39. Mener à une quadrlque réglée les plans tangents passant par

une droite. — Si D est la droite donnée, le problème se ramène à celui de la détermination des points de rencontre de D avec la surface.

Soient, en effet, A et B ces deux points. Soit AC une des génératrices qui passent par A et soit BG une génératrice de système différent passant par B. Les deux droites AG et BG définissent l'un des plans tangents cherchés. On en obtient un autre avec les deux autres génératrices qui passent respectivement par A et par B.

in

Quelques problèmes sur les surfeuses réglées en général.

540. Point central et ligne de striction. — Appelons G et Gi deux génératrices infiniment voisines d'une surface réglée, et soitO le pied sur G de la perpendiculaire commune à ces deux droites. Quand Gi se rapproche indéfiniment de G, le point 0 tend vers une position limite m : cette position limite s'appelle le point central sur la génératrice G, et on appelle ligne de striction de la surface le lieu du point ci> quand G se déplace sur la surface.

541. Plan asymptote. — Si Ton considère le plan P mené par G parallèlement à Gi, et si Ton suppose que Gi se rapproche indéfiniment de G, ce plan tend vers une position limite. Dans cette position limite il s^appelle le plan asymptote suivant la génératrice G. On Tappelie ainsi parce qn'on peut le considérer comme un plan tangent dont le point de contact est le point à rinfini sur G. £n effet, le plan P passe par les points de rencontre de G et de Gi avec le plan deTinfini ; il contient donc la sécante qui joint deux points à Tinfini sur la surface. Or si Gi se rapproche indéfiniment de G, cette sécante devient une tangente à la surface au point où celle-ci est rencontrée par G ; par suite le plan P devient le plan tangent en ce point.

542. Paramètre de distrlbullon. — Si Ton appelle o la plus courte distance de G et de Gi, a l'angle infiniment petit de ces deux droites,

lorsque s tend vers zéro le rapport — a généralement une limite : cette

limite s'appelle le paramètre de distribution des plans tangents suivant

la génératrice G ; nous en verrons la raison dans Q'I I un instant, et nous le désignerons, comme d'ha-

bitude, par la lettre k.

543. Variation du plan tangent le long d'une génératrice. — Considérons deux génératrices voisines G et Gi d'une surface réglée, et soient OOi leur perpendiculaire commune, a leur angle. Supposons que Ton connaisse le plan asymptote suivant la génératrice G, ainsi que le point central sur cette génératrice, et proposons-nous de déterminer la position du plan tangent en un point quelconque M de G. Pour cela, menons par le

QUESTIONS d'examens 501

point M le plan Q perpendiculaire à G et joignons le point M au point de rencontre Mi de ce plan avec G|. 11 est clair que le plan tangent en M peut être considéré comme la position limite du plan M, MO quand Gi se rapproctie indéfiniment de G. Cherchons donc cette position limite. A cet effet, menons par le point 0 la parallèle OGi à Gi et appelons I le point où cette droite perce le plan Q. La droite Mil étant évidemment parallèle à 00| est perpendiculaire au plan GOG[, de sorte que le triangle MilM est rectangle en 1. Si donc on pose

TMMr = (pi, on a

Mil = IM tg Q,.

Mais le triangle rectangle IMO donne

IM = OM tg a, de sorte que

]Mil = OMlgatgcpi; d^où Ton tire

(1) OM tg ç. = -^îi.

Il est clair maintenant que Tangle oi n'est autre chose que le rectiligne du dièdre formé par les deux plans GOGi et GMMi, dont les limites respectives, quand Gi se rapproche indéfiniment de G, sont le plan asymptote suivant OG et le plan tangent en M. D*autre part le point 0 a pour limite le point central sur G, de sorte que si on appelle <p l'angle du plan tangent en M avec le plan asymptote et C 1& distance du point central au point M, le premier membre de Tégalité (1) a pour limite s tg <p. Quant au second membre de la même égalité, on peut récrire

. • et, sous cette forme, on voit qu*il a pour limite le paramètre

de distribution h, il en résulté que Tégalité (1) devient à la limite

(2) î tg ? = A.

C*est cette égalité qui définit la loi de distribution des plans tangents suivant la génératrice G et c*est pour cette raison que la limite du rapport

— de la plus courte distance de deux génératrices infiniment voisines à

leur angle a été appelée le paramètre de distribution.

Si Ton fait varier Ç de — oo à 4- <» on voit, au moyen de la formule (2j, que Tangle 9 varie de — tt à 0, c'est-à-dire que le plan tangent tourne de 180^ autour de G.

On voit également, au moyen de la formule (2), que le plan tangent au point central est perpendiculaire au plan asymptote; car, pour ( = 0,

oû a ? = y •

On voit enfin que si à = 0, on a o = 0 et le plan tangent est le même tout le long de la génératrice : la surface réglée s'appelle alors une surface développât le.

544. Théorème. — Deux surfaces réglées gui ont une génératrice commune ont le même plan tangent en deux points de cette génératrice,

Sar la génératrice commune G fixons un sens positif et prenons comme origine le point central de la première surface. Appelons alors a Tabscisse du point central de la deuxième surface, x Tabscisse d*un point de G en lequel les deux surfaces ont le même plan tangent, o Tangle de ce plan tangent avec le plan asymptote à la première surface, a Tangle des deux plans asymptotes, k et Ai les paramètres de distribution respectifs.

En appliquant la formule (2) aux deux surfaces respectives, on a alors

« tg ç = A,

(a? — a)tg(o — a) = A|.

L'élimination de o entre ces deux équations conduit à Féquation du second degré

(3) a?«tga4- (Ai — A — a lga)a?-|- aA + AAi tga = 0, .

et la proposition en résulte.

545. Corollaire. — Deux surfaces réglées qui ont une génératrice commune et les mêmes plans tangents en trois points de cette droite se raccordent tout le long de la génératrice commune, c'est-à-dire ont les mêmes plans tangents en totis les points de cette droite.

Dans ce cas en effet Téquation (3) admet plus de deux solutions et est, par suite^ une identité. On voit d*ailleurs que les conditions de raccordement, au nombre de trois^ sont

a =1 0, Al = A, a = 0.

546. Ilyperboloîdes de raccordement. — Considérons, diaprés cela, trois points Ai, As, As situés sur une génératrice G d*une surface réglée, et les plans tangents Pi, Ps, P3 menés à la surface en ces trois points. Soit Ai une tangente à la surface au point Ai, c'est-à-dire une droite menée par Ai dans le plan Pi. Soient, de même. Ai et A3 deux droites analogues situées dans les plans respectifs Ps et P3. Si Ton prend les trois droites Ai, As, A3 comme directrices d*un byperbololde H, cet byperboloïde et la surface réglée auront les mêmes pians tangents aux points Al, As» A3 et, par suite, se raccorderont tout le long de la génératrice G.

Pour celte raison Tbyperbololde H s'appelle un hyperboloïde de raccordement, et pour déterminer le plan tangent à la surface en un point quelconque de G, on peut la remplacer par i*byperboloSde H.

On voit, d'ailleurs, qu'il y a une infinité d'byperbololdes de raccordement.

En particulier, on peut choisir un hyperboloïde de raccordement rencontrant une droite donnée D : Il suffit^ pour cela, de faire passer les droites Al, As, As par les points de rencontre respectifs de D avec les plans Pi^ P2, Ps- Cette remarque est très importante pour les applications.

QUESTIONS d'examens 503

547. Paraboloîde de raccordement. — Quand ]es droites Ai, Ai, a& sont parallèles à un même plan, Thyperboloïde de raccordement devient un paraboloïde de raccordement. Il y a évidemment une infmité de paraboloïdes de raccordement.

548. Paraboloïde des normales. — Parmi les paraboloïdes de raccordement, considérons en particulier celui dont un plan directeur est perpendiculaire à la génératrice. Si on le fait tourner de 90° autour de cette génératrice, chacune de ses génératrices perpendiculaires à G devient normale à la surface réglée. 11 en résulte que le lieu des normales' à une surface réglée aux divers points d'aune génératrice est un paraboloïde hyperbolique : on Tappelle le paraboloïde des normales.

Si on appelle A une génératrice du paraboloïde des normales de même système que G, Tbyberbololde de révolution engendré par G en tournant autour de A est de raccordement pour la surface réglée ; car cette surface et rhyperboloïde ont les mêmes normales en tous les points de G et ces normales sont les génératrices du paraboloïde des normales perpendiculaires à G.

Ainsi, les génératrices du paraboloïde des normales de même système que G constituent, par leur ensemble, le lieu des axes des hyperbohïdes de révolution qui se raccordent avec la surface réglée tout le long de G.

549. Application. — Deux surfaces réglées ayant une génératrice commune, trouver les points de cette droite en lesquels les plans tangents aux deux surfaces sont les mêmes.

Si on remplace les deux surfaces par deux paraboloïdes de raccordement ayant un plan directeur commun, la question est ramenée à celle de la détermination des génératrices communes à ces deux paraboloïdes, problème déjà résolu (533).

Exercices avec rindication des solutions,

I. — Une droite D donnée par ses projections tourne successivement autour d^un axe vertical et autour d^un axe de bout. Intersection des deux surfaces de révolution ainsi engendrées.

Ces surfaces sont des hyperboloîdes de révolution à une nappe ayant une génératrice commune, D. Elles se coupent suivant cette génératrice et suivant une cubique gauche r. Pour avoir un point quelconque de r, on imagine sur la première surface une génératrice G qui n'est pas de même système que D. Cette génératrice rencontre la deuxième surface en

deux points dont un n'est pas sur D et appartient à r. Pour obtenir ce point, on observe que le pian des deux droites D et G coupe la deuxième surface suivant la droite D et suivant une autre droite Gi dont l'intersection avec G définit le point cherché.

La tangente à l'intersection en ce point est l'intersection des plans tangents. 11 y a avantage à déterminer chacun de ces plans tangents par les deux génératrices qu'il contient.

Les directions asymptotiques et les asymptotes de Tintersection s'obtiennent par la méthode ordinaire (518).

II. — Trouver le sommet du paraboloïde engendré par une Iiorizontale s*appuyant sur deux droites quelconques.

La direction de l'axe est l'intersection de deux plans directeurs, c'est-àdire l'intersection du plan horizontal et d'un plan parallèle aux deux droites données A et Ai. Un plan quelconque perpendiculaire à l'axe coupe les deux plans directeurs suivant les deux droites respectives D et Di. Le plan tangent au sommet est parallèle à ces deux droites, et il est par suite déterminé par les droites qui sTappuient sur A et sur Ai et qui sont respectivement parallèles à D et à Di.

III. — Section faite par un plan de bout dans un paraboloïde engendré par une horizontale s*appuyant sur deux droites quelconques.

Soient D et A les deux directrices. On obtient un point quelconque de la section par la méthode générale, qui consiste à déterminer le point de rencontre d'une génératrice de la surface avec le plan sécant.

Pour obtenir la tangente en ce point, on détermine l'intersection du plan sécant et du plan tangent à la surface au point considéré. On détermine le plan tangent au moyen des deux génératrices qu'il contient et dont l'une est la génératrice horizontale qui a fourni le point ; quant à l'autret on en connaît la projection verticale, qui passe par la projection verticale du point et par l'intersection des projections verticales des deux droites D et A : ceci résulte de ce qu'elle rencontre toutes les génératrices horizontales de la surface et en particulier la génératrice de bout. On achève de la déterminer par son point de rencontre avec une génératrice horizontale quelconque.

Les directions asymptotiques sont celles des génératrices parallèles au plan sécant. L'une est de bout, et l'autre a sa projection verticale parallèle à la trace verticale du plan sécant ; sa projection verticale passe d'ailleurs par l'intersection des projections verticales de D et de A. Les asymptotes correspondantes sont les droites d'intersection du plan sécant avec les plans parallèles aux plans directeurs et menés respectivement par les génératrices parallèles au plan sécant.

Si le plan sécant était quelconque, les divers éléments de la section s'obtiendraient par des constructions analogues.

QUESTIONS d'eXAM£NS 505

IV. — Un cylindre de révolution à axe vertical est défini par sa base dans le plan horizontal. On considère le paraboloïde engendré par une horizontale qui s'appuie sur une génératrice G du cylindre et sur une droite quelconque D ; trouver Vintersection des deux surfaces.

On a à trouver l'intersection de deux quadriques qui ont une génératrice commune, G. Cette intersection se compose donc de la génératrice G et d'une cubique gauche F. On obtient un point quelconque de cette cubique par la méthode générale qui consiste à déterminer les points de rencontre de Tune des surfaces avec une génératrice de Tautre surface. On cherche donc le deuxième point de rencontre d'une génératrice horizontale du paraboloïde avec le cylindre. Les développements du problème précédent peuvent être repris ici pour la détermination de la tangente. 11 est bon d'ailleurs d'observer que les projections horizontales des génératrices non horizontales du paraboloïde sont parallèles à la projection horizontale de D, parce que le deuxième plan directeur est vertical et parallèle à D . Cette remarque permet de simplifier les constructions.

L'intersection présente un point à l'inGni et l'asymptote correspondante est la génératrice G. Celle-ci est rencontrée par l'intersection en un deuxième point à distance finie (le premier est à l'infini), c[ui est évidemment situé dans le plan tangent au cylindre suivant la génératrice G, parce qu'en ce point les deux surfaces ont le même plan tangent. On obtient alors le point cherché en déterminant la génératrice horizontale du paraboloïde située dans le plan tangent au cylindre le long de la génératrice G.

Des considérations analogues permettent de résoudre le problème suivant :

V. — On donne deux droites D e^ A. On fait tourner D autour de la verticale de Vun de ses points, et Von demande de construire Vintersection de ce cône et du paraboloïde engendré par une horizontale qui s^ appuie sur D et sur A.

VI. — Contour apparent sur le plan horizontal du paraboloïde engendré par une horizontale qui s*appuie sur detw droites données D et \.

Soit H une génératrice horizontale quelconque du paraboloïde. Le plan "vertical mené par H est un plan tangent dont le point de contact est sur le contour apparent horizontal. On obtient ce point en cherchant la génératrice de même système que D et A située dans le plan vertical qui contient H. On la détermine facilement ici, en observant qu'elle passe par un point connu et qu'elle s'appuie sur deux horizontales quelconques.

Vil. — On considère un cercle C dans un plan horizontal et deux droites D &< A qui rencontrent respectivement le cercle en  et en B. Le cercle C et les deux droites D et A définissent une quadrique. Trouver : i^ le lieu des centres des cercles fiorisontaux de ces quadriques ; 2° un point du contour apparent horizontal de la surface.

4° On détermine d*abord une troisième génératrice de la surface, par exemple la deuxième génératrice qui passe par le point A, et qui est dans le plan tangent à la surface en ce point. On peut alors déterminer une section circulaire horizontale quelconque par trois points, ce qui permet de déterminer le centre de cette section.

En joignant ce point au centre du cercle G, on a le lieu des centres demandé : ce lieu est une droite Di.

2° Soit Cl une section circulaire horizontale. Le cône circonscrit à la quadrique le long de Ci a son sommet sur Di. On obtient ce sommet par l'intersection de Di et du plan tangent en un point de Ci. On mène alor» à ce cône les plans tangents verticaux, et on prend leurs points de contact avec le cercle Ci .

VIU. — Uijfe quadrique étant définie par trois droites Di, Da, D3, dont on donne les projections , trouver le point de contact du plan qui passe par Vune d'elfes et par un point donné.

Supposons que ce plan passe par Di ; il coupe alors D2 et D3 respectivement en As et en A3. Le point demandé est Tintersection des deux droites A3A3 et D2.

Rappelons à ce sujet que si par chacune des trois droites données on mène les couples de plans parallèles aux deux autres, on obtient un parallélépipède dont le centre coïncide avec le centre de la quadrique.

IX . — On considère le paraboloide hyperbolique défini par trois génératrices parallèles à un plan P. Mener à ce paraboloide un plan tangent parallèle à un plan Q.

Soient Gi, G2, G3 les trois génératrices données. Soient, d^autre part, Di, Ds deux génératrices rencontrant les trois premières. Soient enfin D rintersection des deux plans P et Q et îh la parallèle à D s'appuyant sur Di et sur D,. Le plan demandé est le plan mené par D3 et parallèle au plan P.

X . — Contour apparent horizontal d'un paraboloide dont on donne deux directrices et un plan directeur non parallèle à ces deux droites.

On cherche le point du contour apparent horizontal situé sur une gêné, ratrice quelconque, G, de la surface, ce qui revient à trouver le point de contact du plan vertical mené par G. On détermine, pour cela, les points de rencontre de ce plan vertical avec deux génératrices de même système que G, et on se ramène ainsi à une construction faite pour le problème Vlll.

XI. — On considère le paraboloide hyperbolique engendré par une horizontale qui s*appuie sur deux droites dont Vune est de front. On fait tourner cette droite autour d'une autre droite qui lui est parallèle» Intersection du paraboloide et du cylindre ainsi engendré.

QUESTIONS d'examens 507

Les deux surfaces ayant une génératrice commune, Tintersection se compoâe de cette génératrice et d*une cubique gauche qui rencontre la génératrice en un point à distance finie et en un point à Tinfini.

En rapprochant ce problème du problème IV, on verra facilement la manière de le traiter dans tous ses détails.

XII. — Une conique dans un plan fiorisontal et deux droites qui la rencontrent et qui ne sont pas dans le même plan définissent une quadrique. Section de la quadrique par un plan de bout. Points de contour apparent horisontal situés sur la conique.

Soient G et Gi les deux droites et r la conique. Par tout point de r il passe une droite rencontrant G et Gi et dont le point de rencontre avec le plan sécant est un point de l'intersection.

Le plan tangent à la surface en ce point est déterminé par les deux génératrices de systèmes différents qui y passent. On en connaît une et on détermine facilement Taulre en observant qu*elle est de même système que G et que Gi et qu'elle rencontre r. Le plan tangent à la surface étant déterminé, on sait déterminer la tangente.

Pour trouver les points du contour apparent horizontal situés sur r, on considère le cône circonscrit à la surface suivant cette conique, et on lui mène les plans tangents verticaux. On peut déterminer le sommet du cône par Tintersection de trois plans tangents dont les points de contact sont sur r.

XIII. — Sur un hyperholoïde de révolution à une nappe à axe vertical on prend deux génératrices A, B «t on considère une troisième droite donnée^ G, dont la projection horizontale passe par le point de rencontre des projections horizontales de k et de ï^. En considérant les trois droites A, B, G comme le^ directrices d'un second hyperholoïde, on demande de déterminer Vintersection des deux surfaces.

Les deux surfaces ont deux génératrices communes A et B de même système. L'intersection se compose donc de ces deux droites et de deux autres génératrices qui rencontrent A et B : il s'agit alors de trouver ces deux génératrices. Pour cela, on observe qu'elles doivent rencontrer toutes les génératrices du second hyperbololde qui sont de même système que A et que B. Or, parmi ces génératrices, il est aisé de voir qu'il y en a une qui est verticale : en effet, puisque les projections horizontales de A, B, G passent par le même point, la verticale de ce point rencontre A, B, G et est, par suite, une génératrice du second hyperbololde et de système différent de A, B, G ; comme les génératrices d'un hyperbololde sont deux à deux parallèles, il y a, sur le second hyperbololde, une autre génératrice verticale, qui est nécessairement de même système que A, B, G. Pour l'obtenir, il suflit de construire les projections horizontales de deux génératrices de l'autre système ; par exemple, en menant le plan qui projette verticalement A, et en joignant les points de rencontre de ce plan avec

B et G on en obtient une ; on obtient Tautre d'une manière analogue avec le plan qui projette verticalement B. Soit donc A la deuxième génératrice verticale du second hyperboloîde ; elle rencontre lliyperboloîde de révolution en deux points, et les génératrices communes sont les génératrices de cet hyperboloîde qui passent par ces deux points et qui rencontrent A et B.

Si la droite G est une droite quelconque, le problème qu*on vient de résoudre fournit une méthode pour trouver les points de rencontre d^une droite et d'un hyperboloîde de révolution à une nappe.

XIV — Etant donné un hyperboloide de révolution à axe vertical^ lui mener les plans tangents qui passent par une droite perpendiculaire à Vaoae.

XV. — Le plan horizontal étant un plan directeur commun à deux paraboloïdes hyperboliques^ trouver les points à Vinfini et les asymptotes de l^in^ ter section de ces deux surfaces.

Soient P le plan directeur non horizontal du premier paraboloïde et Q le plan directeur analogue du second. L'intersection A de ces deux plans est une première direction asymptotique de Tintersection. Soient Gj et G^ les deux génératrices parallèles à A et appartenant respectivement aux deux paraboloïdes. L'asymptote parallèle à A est l'intersection de deux plans : le premier mené par G| parallèlement au plan P ; le deuxième mené par G2 parallèlement au plan Q.

Les deux paraboloïdes ont d'ailleurs en commun la droite à l'infini dans le plan horizontal et se coupent, par suite, suivant cette droite et suivant une cubique gauche qui la rencontre en deux points. 11 s'agit maintenant de déterminer ces deux points et les tangentes correspondantes. Pour cela, coupons les deux paraboloïdes par un plan horizontal variable H ; nous obtenons ainsi deux génératrices A et B situées respectivement sur les deux paraboloïdes. Quand H varie, ces deux génératrices tracent deux divisions homographiques sur la droite de l'infini. Si donc par un point quelconque co du plan horizontal de projection, on mène les parallèles respectives a et 6 à A et à B, ces deux droites a et 6 engendrent deux faisceaux homographiques dont les rayons doubles donnent les directions des points à l'infini demandés : soient di et d% ces deux directions.

11 reste maintenant à trouver les asymptotes correspondantes. Cherchons par exemple l'asymptote parallèle à cZi. A cet effet, appelons Di la génératrice du premier paraboloïde parallèle à di et D| la génératrice analogue du second. Observons d'ailleurs que Di et Ds sont dans le même plan horizontal Hi, de sorte que l'asymptote cherchée est située dans ce plan, qui est un plan tangent commun aux deux surfaces. L'asymptote est de plus une génératrice du cylindre du second degré qui a pour directrice la cubique d'intersection et dont les génératrices sont parallèles à Di. Ce cylindre est un cylindre hyperbolique dont un pian

QUESTIONS d'examens 509

directeur est horizontal, et le plan Hi le coupe suivant une génératrice qui est Tasymptote demandée.

XVI. — On considère le paraboloïde engendré par une horizontale qui glisse sur deux droites quelconques ne se rencontrant pa^. Trouver le pôle^ par rapport à ce paraboloïde y d'un plan de bout donné.

Soit P le plan de bout donné. On détermine d*abordle point de contact du plan tangent parallèle au plan P. Par ce point on mène la parallèle à la direction des diamètres (intersection des deux plans directeurs), et Ton cherche Tintersection de cette parallèle avec le plan tangent en un point quelconque de la section faite par le plan P dans le paraboloïde.