I. — Nous établirons d'abord les propositions suivantes

Théorème I. — Lorsque deux quculriques &nt un plan principal commurt , si un plan P les coupe suivant des ellipses se projetant sur ce plan suivant des cercles :

1® Leurs autres plans principaux sont parallèles deux à deux ; 2^ Leur ligne d^intersection se projette sur le plan principal commvn suivant un cercle.

Désignons par Q et Qi les quadriques données, prenons pour plan principal commun le plan des xy et pour plans coordonnés les plans principaux de la quadrique Q.

Les équations des deux quadriques seront de la forme

(Q; -* -h Ax» -+- Ay -h H = 0 ou z'*' -h /-(x, y) = 0.

(Qi) -*+Aia;24-A;y24-:îC;xy+2Dia;-h2E,y4-Fi=0, ou -»-HA(ary)=0.

Un plan P non parallèle à celui des xy aura pour équalion (P) J = rtix 4- ny 4- p.

Les deux projections ont re:*pectivement pour équations

/!«:, y) -¥ (mx -{-ny-^ p^ = 0, A{^» y) -+- ("'«? -h ny + p;* = 0.

A cause de la forme de f{x, y), la première projection ne saurait être un cercle que si Ton a mn = 0.

Supposons par exemple n = 0. Dès lors, pour que la seconde projection soit un cercle, on doit avoir B| = 0.

Donc : 1° les deux coniques principales f\xj y) = 0 et fi{x, y) = 0 ont nécessairement leurs axes parallèles, et par conséquent les plans principaux de Q et Qi qui passent par ces axes sont parallèles deux à deiu.

D*aulre part, avec n = 0 et BJ = 0, on doit avoir

m«-|-A = A' et m«H-A, rrAl,

ce qui entraîne la condition