CHAPITRE II
LA LIGNE DROITE
§ I. — Représentation de la ligne droite.
44. Oéflnition. — On appelle plans projetants d'une droite, les plans menés par cette droite perpendiculairement aux deux plans de projection. On dit snissile plan projetant horizontalement et le plan projetant verticalement la droite.
45. Représentation de la droite. — Comme toute figure de Tespace, une droite est représentée par ses projections, ce qui revient à considérer la droite comme Tintersection de ses deux plans projetants. Il y a toutefois exception lorsque la droite est située dans un plan de profil, parce que alors ses deux plans projetants coïncident. L'épure d'une droite D se com-
posera donc, en général, de la ligne de terre
^ xy et de deux droites d et d! représentant, l'une la projection horizontale, l'autre la projection verticale de la droite D. Pour abréger le langage et l'écriture, on dit la droite (rf, d') ou la droite D. Quant aux positions relatives des trois droites ory, d, d\ elles dépendent des positions que peut occuper la droite D par rapport aux deux plans de projection.
Nous allons les passer rapidement en revue, mais en rappelant
d'abord que les projections d'une droite sont les lietix géométriques des projections de même nom des divers points de la droite ; ce qui signilîe que la projection horizontale d'un point d'une droite D est sur la projection horizontale d de cette droite, et que la projection verticale du même point est sur la projection verticale d' de la même droite.
46. Droites horizontales. — Une droite horizontale est une droite
parallèle au plan horizontal. En vertu de cette
., définition, tous les points d'une horizontale
ont la même cote et, par suite, le lieu de leurs
projections verticales est une parallèle à xy
située à une distance de cette droite égale à la
cote commune à tous les points de la droite.
L'épure d'une horizontale H se compose donc
de la ligne de terre, d'une droite quelconque h projection horizontale
de H et d'une droite h' parallèle à xy et projection verticale de H.
Si la droite H est dans le plan horizontal, elle coïncide avec A, et sa projection verticale h' coïncide avec xy.
47. Droites de front. — Une droite de front est une droite paral-
lèle au plan vertical. Tous les points d'une droite de front ont le même éloignement et, par un raisonnement analogue à celui qui a été fait pour les droites horizontales, on voit que l'épure y d'une droite de front se compose de xy, d'une y droite /" parallèle à xy et d'une autre droite/'; f coïncide avec xy si la droite est dans le plan vertical.
48. Droites parallèles à la ligne de terre. — Lorsqu'une droite
est parallèle à la ligne de terre , elle
^ — est à la fois horizontale et de front ; donc
ses deux projections sont parallèles à la * y ligne de terre, et l'épure d'une telle droite
j se compose de xy et de deux droites d eid!
parallèles à xy.
49. Droites verticales; droites de bout. — Une droite verticale
LA LIG.NE DHOITE
est une droite perpendiculaire au plan horizontal. Sa projection
horizontale est un point d et sa projection verticale la perpendiculaire d! k xy menée par ce point.
Une droite de bout est une droite perpendiculaire au plan vertical ; sa projection verticale est un point 8' et sa projection horizontale la perpendiculaire 8 menée de ce point à la ligne de terre.
50. I>roites situées dans un plan de profil. — Lorsqu'une droite est située dans un plan de profil, ses projections, sur Tépure,
sont situées sur la même perpendiculaire à la ligne de terre ; cette perpendiculaire est du reste le lieu des projections horizontales ou verticales de toutes les ligures situées dans le même plan de profil ; dès lors elle ne définit aucune de ces figures. Ainsi, quand une droite est dans un plan de profil, elle n'est pas représentée par ses projections. Pour la représenter on se
donne alors les projections de deux de ses points ; de cette façon la droite est définie sans ambiguïté, car une droite quelconque est complètement déterminée par deux de ses points; c'est ainsi que les points (a, a') et (6, b') définissent la droite de profil (aô, a'6').
51. l>roites situées dans les plans bissecteurs. — Tout point situé dans le premier ou dans le troisième plan bissecteur a, dans répure, ses projections symétriques par rapport à la ligne de
terre; tout point situé dans le deuxième ou dans le quatrième plan bissecteur a ses deux projections confondues dans répure. Il en résulte :
lo que dans Tépure d'une droite située dans le premier ou dans le troisième plan bissecteur, les deux projections de la droite sont symétriques par rapport à xj/ ; 2® que dans l'épure d'une droite située dans le deuxième ou dans le quatrième plan bissecteur, les deux
projections de la droite sont confondues. Dans la figure ci-contre (rf, d!) est une droite située dans le premier plan bissecteur, et (S, S') est une droite située dans le deuxième plan bissecteur.
52. Remarque. — Pour avoir terminé tout ce qui a trait à la représentation de la ligne droite, il nous resterait à indiquer comment on peut représenter une droite perpendiculaire à l'un quelconque des plans bissecteurs. Il serait aisé de traiter directement ce problème ; mais il y a avantage à le considérer comme une application de la condition de parallélisme de deux droites. Nous le traiterons donc dans le paragraphe relatif aux droites paralèles.
§ II. — Problèmes sur la ligne droite.
53. Problème I. — Construire les projections (Tune droite connaissant les projections de deux de ses points.
Soient (a, a') et (6, 6') les deux points donnés. La projection horizontale de la droite étant le lieu des projections horizontales de ses divers points, doit passer par les points a Qt b : c'est donc la droite ab. '
On voit par un raisonnement tout pareil que la projection verticale est la droite a'b'.
5i. Remarque. — Si la droite ab est perpendiculaire à xy^ comme a' et b' sont sur les lignes de rappel menées respectivement par a et par 6, la droite a'b' est aussi perpendiculaire à xy au même point que ab. Il suit de là que, si une des projections d'une droite est perpendiculaire à la ligne de terre^ Vautre projection est aussi perpendiculaire à la ligne de terre et au même point que la première.
La droite est alors située dans un plan de profil.-
55. Problème II. — Connaissant les projections d'une droite^ construire les projections d'un point quelconque de cette droite.
Le problème ainsi posé est indéterminé. Pour le déterminer, on peut se donner : soit l'une des projections du point inconnu, soit la cote positive ou négative de ce point, soit enfin son éloignement positif ou négatif.
LÀ LIGNE DROITE
Le problème proposé se subdivise donc en trois autres :
l^ Supposons que Ton connaisse Tune des projections du point. Pour
avoir l'autre projection, on remarque qu'elle doit se trouver sur la
ligne de rappel menée par la projection connue, et sur la projection de
la droite de même nom que la projection inconnue du point : celle-ci
est donc déterminée par Tintersection de ces deux lignes.
Soit, par exemple, (rf, (f) la droite. Si l'on connaît la projection horizontale a du point A de la droite D, la projection verticale de ce point sera à l'intersection de (f et de la ligne de rappel menée par a. Inversement, si Ton connaît la projection verticale a', la projection horizontale sera à l'intersection de d et de la ligne de rappel menée par af.
29 Supposons maintenant que l'on connaisse la cote, positive ou négative, du point. Nous déterminerons alors sa projection verticale, et le problème sera ramené au premier cas. Pour déterminer la projection verticale, nous remarquerons qu'elle se trouve sur la projection verticale de la droite et sur le lieu des projections verticales des points de cote donnée. Mais ce lieu est une parallèle à rrj/, menée au-dessus ou au-dessous de cette ligne suivant que la cote est positive ou négative et à une distance de on/ égale à la grandeur de la cote. Cette
parallèle et la projection verticale de la droitedéterminentla projection verticale du point.
Soient, par exemple, (d, df) la droite et c la cote supposée positive et portée au-dessus de xy. L'intersection de d' avec la droite h' menée parallèlement à a:y, au-dessus de cette ligne, et à la distance c, donne le point a' projection verticale du point cherché. On en déduit la projection horizontale a par une ligne de rappel.
3<> Supposons enfin que Ton connaisse l'éloignement, positif ou négatif, du point. En recommençant, presque mot à mot, le raisonnement du second cas, on sera conduit à la construction suivante :
ANTOMARI. — OftOM. DESCR. 3
Oïl mène, parallèlement à la ligne de terre, une droite f située à
une distance de cette ligne égale à la grandeur de Téloignement, au-dessous ou au-dessus de a?j/ suivant que l'éloignement est positif ou négatif. Le point de rencontre de cette droite f avec la projection horizontale, d, de la droite fait connaître la projection horizontale, a, du point. On en déduit la projection verticale a' par une ligne de rappel.
Dans l'épure ci-contre, Téloignement a été supposé négatif.
56. Traces d*une droite. — On appelle irace$ d'une droite les points de rencontre de cette droite avec les plans de projection. La trace horizontale est le point de rencontre avec le plan horizontal, et la trace verticale le point de rencontre avec le plan vertical.
Une horizontale n'a pas de trace horizontale et une frontale n'a pas de trace verticale.
Une parallèle à la ligne de terre n'a ni trace horizontale, ni trace verticale.
57. Problème III. — Connaissant les projections d'une droite^ trouver ses traces.
lo La trace horizontale de la droite est le point de cette droite dont la cote est nulle. Elle est donc projetée verticalement à l'intersection de la ligne de terre et de la projection verticale de la droite ; on en déduit la projection horizontale par une ligne de rappel.
2® Pareillement, la trace verticale est le point de la droite d'éloignement nul. Ce point est donc projeté horizontalement à l'intersection de
la ligne de terre et de la projection horizontale de la droite; on en déduit la projection verticale par une ligne de rappel.
D'après cela, si (d, rf') est la droite, on aura la trace horizontale en (A, h'), et la trace verticale en («, u'). On dit aussi que la trace horizontale est le point h 9 et que la trace verticale est le point u', parce que la trace horizontale coïncide avec sa projection
LA LIGNE DROITE 35
horizontale, tandis que la trace verticale coïncide avec sa projection verticale.
Ponctuation. — Proposons-nous, à titre d'exercice, de faire la ponctuation de répure de cette droite, en supposant les plans de projection opaques.
En projection horizontale, les parties vues et les parties cachées sont évidemment séparées par la trace horizontale. Si nous considérons alors un point quelconque (m, mf) de la droite, nous voyons que ce point est, ici, dans le dièdre (1) et, par conséquent, que sa projection horizontale est vue. Il en résulte que la portion hmd de la projection horizontale est vue, et que l'autre portion, à droite de A, est cachée.
C'est, de même, le point v' qui sépare les parties vues et les parties cachées en projection verticale. Et comme le point m' est vu, la portion m'vfd! tout entière est vue, tandis que l'autre est cachée.
On peut remarquer que la portion de la droite qui est projetée en (i?A, v'h') est vue en projection horizontale, mais cachée en projection verticale. Cela tient, ainsi que nous en avons fait la remarque, à ce que l'observateur qui regarde la projection horizontale n'est pas le même que celui qui regarde la projection verticale.
58. Problème IV. — Construire les projections (Tune droite^ connaissant ses traces.
Ce problème est un cas particulier d'un problème déjà résolu (53) ; car, se donner les traces d'une droite, revient à s'en donner deux points.
59. Remarque. — Les solutions des problèmes II et III sont en défaut quand la droite est dans un plan de profil. Dans ce cas ces problèmes seront traités plus loin (voir le | droites parallèles).
60. Application. — Les plans de projection étant supposés opaques^ trouver les ombres portées sur ces plans par un segment de droite opaque^ la source lumineuse étant placée en un point («, s').
Si le plan vertical n'existait pas, l'ombre portée sur le plan horizontal serait le segment de droite joignant les traces horizontales ai et bi des deux rayons («a, s'a') et («6, s'b'). Ce segment aibi est projeté verticalement sur xy et rencontre cette ligne en un point (ci, ci), qui est l'ombre portée par le point (c, c') de la droite sur le plan
horizontal et sur le plan vertical. Il suit de là et de ce que le point (5, s^ est dans le dièdre (1), que les rayons lumineux qui ont leurs
traces horizontales sur c^b^ sont arrêtés par le plan vertical , et que Fombre portée sur le plan horizontal se réduit à aiCi.
De même si le plan horizontal n'existait pas, l'ombre portée sur le plan vertical serait le segment de droite a'^b'^ joignant lés traces verticales des deux rayons {sa, s'a^ et (sb, s'b').
Ce segment de droite passe aussi par le point (ci, c',), et Ton voit, comme plus haut, que Tombre portée sur le plan vertical se réduit à c\bi.
61. Problème V. — Points de rencontre d'une droite avec les plans
bissecteurs.
Après avoir déterminé les traces d'une droite sur les plans de projection, il est naturel de déterminer ses traces sur les plans bissecteurs.
lo Soit d'abord à déterminer la trace de la droite (rf, d') sur le premier plan bissecteur. Nous remarquerons, pour cela, que les projections d'un point appartenant au premier plan bissecteur sont symétriques par rapport à la ligne de terre dans l'épure. Par conséquent, si nous appelons (m, m') le point cherché, pour trouver ce point il suffit de remarquer que si l'on joint le point m au point de rencontre, a, de d' et de ary, le triangle mam' ainsi obtenu est isocèle ; de sorte que pour obtenir le point m, il n'y a qu'à prendre Tintersection de d avec la droite am, symétrique de d' par rapport à xy. Le point m' s'en déduit par une ligne de rappel. Au lieu de déterminer le point m pour en déduire ensuite le
LA LIGNE DROITE
point m% on aurait pu faire l'inverse, en construisant la droite symétrique de d par rapport à xy,
2p Soit maintenant à déterminer la trace de la droite (d, d!) sur le deuxième plan bissecteur. Remarquons, pour cela, que tout point appartenant au deuxième plan bissecteur a ses projections confondues sur l'épure. Dès lors, comme ce point appartient à la droite, il sera projeté au point de rencontre, (a, 0% des projections de la droite.
§ III. — Droites parallèles.
62- Tbéopème. — Pour que deux droites D ci A soient parallèles ^ il faut et il suffit que leurs projections de même nom soient parallèles.
\^ C'est nécessaire. — Considérons en effet deux droites parallèles D et A, et projetons-les orthogonalement sur le même plan P, en Di et en Ai. Soient AAi et BBi les projetantes des points  et B, appartenant respectivement à D et à a.
Les deux plans DAAi et aBBi, qui
sont les plans projetant les deux droites
sur le plan P, sont parallèles comme
plans de deux angles ayant leurs côtés
parallèles. Les sections Dr et Ai de ces deux plans par le plan P sont
donc parallèles. Il en résulte que les projections de même nom sont
parallèles.
2o C'est suffisant. — En effet, si les projections de même nom sont parallèles, les plans projetants de même nom le sont aussi; dès lors les quatre plans qui projettent les deux droites sur les deux plans de projection forment une surface prismatique dont les deux droites sont deux arêtes, et ils sont, par suite, parallèles.
63. Remarques. — 1° La proposition cesse d'être vraie quand les deux droites sont dans des plans de profil.
2» En vertu du théorème précédent, si Ton a Tépure d'un système de deux droites (d, d!) et (§, 8% on reconnaîtra que ces deux droites sont parallèles si d et o sont parallèles, ainsi que d' et 8', pourvu, bien entendu, que les deux droites ne soient pas dans des plans de profil.
64. Problème VI. — Par un point donnée mener la parallèle à une droite donnée.
Nous examinerons deux cas, suivant que la droite n'est pas située
ou est située dans un plan de profil.
lo Si la droite donnée (rf, rf') n'est pas située dans un plan de profil, pour lui mener une parallèle par le point (a, a% il suffit de
y mener la parallèle à d par le point a et la parallèle à d' par le point a'. La droite (8, $') ainsi obtenue est la parallèle demandée.
2o Soit donc à mener par le point (p, pO la parallèle à la droite (aA, a'b') située dans un plan de profil distinct de celui qui passe par le point (p, p'). Remarquons d'abord que si un parallélogramme n'est pas situé dans un
plan de profil, ses deux projections sont des parallélogrammes, et réciproquement. Construisons alors le quatrième sommet du parallélogramme dont trois sommets sont en (a, a'}, (ô, b') et (p, p'). Nous obtenons ainsi le point (gr, q')^ et la droite cherchée est déterminée par les points (p, p') et (g, g^. Il resterait à examiner le cas où le point et la droite sont dafis le même plan de profil, mais ce cas sera examiné ultérieurement (voir les rabattements).
On pourrait, du reste, le traiter directement dès à présent, en s'appuyant sur ce que deux droites parallèles à une troisième sont parallèles entre elles.
On mènerait alors la parallèle à la droite donnée par un point non situé dans le même plan de profil, ce que Ton vient d'apprendre à faire ; puis par le point donné situé dans le même plan de profil que la première droite, on mènerait la parallèle à la deuxième.
LA LIGNE DROITE
Nous sommes en mesure, maintenant, de résoudre les problèmes suivants :
65. Problème VII. — Représenter une droite parallèle à l'un quel-
conque des plans bissecteurs.
lo Si la droite est parallèle au premier plan bissecteur, elle est parallèle à une droite de ce plan. On se donnera donc une droite dans le premier plan bissecteur, et on lui mènera une parallèle par un point quelconque. On aura ainsi la première des deux épures ci-contre.
iP On opérera d'une manière tout à fait analogue pour obtenir Tépure d'une droite parallèle au deuxième plan bissecteur. Dans la deuxième épure,
ci-contre, (d|, d\) est une droite du deuxième plan bissecteur et (rf, d^ une droite parallèle au deuxième plan bissecteur.
On peut remarquer que les projections d'une droite parallèle au premier plan bissecteur forment un triangle isocèle avec xij ; tandis que les projections d'une parallèle au deuxième plan bissecteur sont parallèles entre elles. Les réciproques sont évidemment vraies.
66. Problème VIII. — Représenter une droite perpendiculaire à l'un quelconque des plans bissecteurs,
lo Soit d'abord à représenter une droite perpendiculaire au premier
plan bissecteur. Pour cela, par un point (a, a') pris sur xy, menons la perpendiculaire à ce plan : elle sera située dans le deuxième plan bissecteur, et il suffira d'un autre point pour la définir. Prenons alors un point (ô, 6') sur la ligne de rappel du point (a, 0% et nous aurons ainsi en (a6, a'b') la perpendiculairemenée au premier plan bissecteur par le point (a, a'). Il ne reste plus qu'à mener une parallèle (crf, ddf) à cette droite, comme cela a été expliqué au n^ 64..
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2o Soit maintenant à représenter une droite perpendiculaire au deuxième plan bissecteur. Pour cela, par un point (a, a') pris sur xy,
menons la perpendiculaire à ce plan.
Cette perpendiculaire sera située dans le plan de profil du point (a, <f) et dans le premier plan bissecteur. Si donc nous prenons, dans ce dernier plan, un point (6, V) situé sur la ligne de rappel du point (a, a% nous aurons en (aô, db^ la perpendiculaire au deuxième plan bissecteur, menée par le point (a, a'). Il ne reste plus alors qu'à mener une parallèle (cd, c'd') à cette droite, comme cela est expliqué au no 64.
67. Problème IX. — Une droite étant située dans un plan de profil, se donner un point de cette droite.
Soit {abj a!b') la droite donnée, définie par deux de ses points.
Donnons-nous, par exemple, la projection verticale du point inconnu, et cherchons sa projection horizontale. Pour cela, projetons la droite sur Tun quelconque des deux plans de projection, sur le plan horizontal par exemple, parallèlement à une direction oblique à ce plan et choisie arbitrairement; soit (S, 8') cette direction. La projection de la droite s'obtiendra en joignant les traces horizontales des parallèles à (S, 8') menées par (a, a') et par (6,6'). Soit cd cette projection et soit m' la projection verticale du point inconnu. La projection horizontale de ce point, parallèlement à (8, 8'), est évidemment le point wii, intersection de cd avec la ligne de rappel du point de rencontre de xy et de la parallèle à l' menée par m'. En menant alors par mi la parallèle à 8, on aura le point m, ce qui achève de déterminer le point inconnu. La méthode que nous venons d'employer pour résoudre ce problème s'appelle la méthode des projections obliques. Le grand avantage qu'elle
LA LIGNE DROITE
présente réside dans ce que la direction des projetantes est arbitraire, et aussi dans ce qu'elle n'exige que la règle et Téquerre. Nous allons aussi l'appliquer à la résolution du problème suivant :
68. Problème X. — Trouver les traces d'une droite située dans un
plan de profil.
Soit (aé, a!à') la droite donnée, définie par deux de ses points. Projetons-la obliquement sur le plan horizontal, en prenant comme direction des projetantes une droite de front quelconque (5, V). La trace verticale se projettera alors sur ary, et la projection de la trace horizontale ne changera pas. Or, la projection de la droite est la ligne ai6i, qui joint les traces horizontales des parallèles à (8, 5') menées par (a, d) et par (6, b^). Donc la trace horizontale est le point h et la trace verticale est le point w', qui est projeté obliquement en t?i sur xy et sur aibi.
69. Application. — Les plans de projection étant supposés opaques, trouver Vombre portée par un segment de droite opaque^ éclairé par des rayons parallèles de direction donnée.
Soient (aé, a'67 le segment donné et (0, 0') la direction des rayons
lumineux, le sens de propa^ gation de la lumière étant indiqué par des flèches.
Le problème revient évidemment à projeter obliquement le segment {ab^a'bf) sur le plan horizontal et sur le plan vertical, la direction des projetantes étant (§,§').
Or la projection sur le plan horizontal est a,é, ; la projection sur le plan vertical est a^éi, rencontrant la première au point (ci, c,') de la ligne de terre.
Ce point est l'ombre portée par le point (c, c') sur le plan horizontal et sur le plan vertical. Si alors on a égard au sens de propagation de la lumière, on voit que l'ombre portée sur le plan horizontal doit être limitée à a,ci et, de même, que Tombre portée sur le plan vertical doit être limitée à bid.
§ IV. — Droites concourantes.
70. Problème XI. — Reconnaître si deux droite» données par leurs projections se eotipent^ et détei*miner leur point de rencontre.
Nous allons montrer que la cortdition nécessaire et suffisante pour que deux droites données par leurs projections se coupent^ est que les
deux points de rencontre des projections / de même nom soient sur la même ligne
jPf^ de rappel,
N. lo C'est nécessaire ; car si les deux
droites A et B se coupent en un y point M, la projection horizontale m ^ de ce point doit se trouver à la fois sur
^ a et sur 6, puisque M est à la fois sur
^x'^^^^ A et sur B ; donc elle est à leur inter-
section. On voit de même que la projection verticale m' est à Tintersection de a! et de b' ; par suite les points de rencontre des projections de même nom sont les projections du même point de l'espace et sont sur la même ligne de rappel.
2^ C'est suffisant ; car si les points de rencontre m et m' des projections de même nom sont sur la même ligne de rappel, ces deux points sont les projections d'un point M de l'espace. Le point M est d'ailleurs un point commun aux deux droites, puisque ses projections sont sur les projections de même nom des deux droites. Le point de rencontre se trouve d'ailleurs ainsi déterminé.
71. Remarque. — Les conclusions précédentes, en ce qui concerne la détermination du point de rencontre, sont en défaut quand l'une des droites est située dans un plan de profil, parce qu'alors les points de rencontre des projections de même nom sont toujours sur la même ligne de rappel. D'ailleurs, les constructions auxquelles on est con-
LÀ LIGNE DROITE
duit ne sont plus possibles quand l'un des deux points m ou m' sort
des limites du dessin. La remarque suivante conduit à des constructions toujours possibles.
Pour que deux droites se coupent y il faut et il suffit que deux droites quelconques qui s'appuient sur elles^ se coupent. Ceci résulte de ce que deux droites qui se coupent déterminent un plan ; dès lors si deux droites quelconques les rencontrent, elles sont dans ce plan et se coupent.
Voyons d'après cela si les deux droites (rf, d') et (aé, a!b') se coupent. A cet effet, prenons sur D deux points quelconques (m, m') et {n,n'). Joignons le premier au point (a, a') et le second au point (6, h') ; nous obtenons ainsi deux droites {am^a'm!)^ (bn, b'n^ qui se coupent, puisque les points de rencontre o et o' des projections de même nom sont sur la même ligne de rappel ; donc les deux droites (d, dT) et (a^, a'6') se coupent aussi.
72. Problème XII (application du précédent). — Mener par un point donné une droite s'appuyant sur une droite donnée.
Le problème ainsi posé est indéterminé. Pour le déterminer, on
peut se donner soit le point de rencon^ tre de la droite donnée et de la droite cherchée, soit la direction de Tune des projections de la droite cherchée.
Dans le premier cas, on peut prendre comme point de rencontre des deux droites un point quelconque de la droite donnée. On a alors à faire passer une droite par deux points.
Traitons le problème dans le second cas. Soient, pour cela, (rf, d') la droite donnée et (a, a') le point donné. Donnons-nous, par exemple, la direction 8 de la projection horizontale de la droite cherchée. Celle-ci sera alors projetée horizontalement suivant la parallèle a5j menée à 8 par le point a. Cette parallèle ren-
contre d en un point 6, qui sera la projection horizontale du point de rencontre de (d, d!) avec la droite cherchée. On en déduit la projection verticale b' du même point par une ligne de rappel, et ensuite les projections ab et cdb' de la droite cherchée.
Deux cas particuliers de ce problème, qui se présentent fréquemment dans les applications, sont les suivants :
1® Mener par un point donné une horizontale s'appuyant sur une droite donnée.
2° Mener par un point donné une frontale s'appuyant sur une droite donnée.
Nous laissons au lecteur le soin de les traiter.
1. Trouver les projections d'un point d*uae droite donnée, connaissant le rapport de la cote à Téloignement de ce point. £n déduire la détermination du point de rencontre de la droite avec le premier plan bissecteur.
2. Trouver le point de rencontre de deux droites situées dans le même plan de profil, en employant la méthode des projections obliques.
3. Une droite et un point étant situés dans le même plan de profil, reconnaître si le. point est sur la droite .
4. Reconnaître si deux droites situées dans le même plan de profil sont parallèles.
5. Reconnaître si deux droites situées dans deux plans de profil différents sont parallèles.
6 . Par un point donné, mener une parallèle à une droite de proQl, en se servant de la méthode des projections obliques.
7. Une droite perpendiculaire au premier plan bissecteur est déterminée par sa trace verticale et par sa trace sur le plan bissecteur auquel elle est perpendiculaire. On suppose que la portion de cetle droite limitée par ces
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deux traces soit dans la région ({2), et Ton demande de déterminer Tombre qa*e]Ie porte sur le plan horizontal, les rayons lumineux étant supposés de front.
8 . Trouver Tombre portée sur les plans bissecteurs, supposés opaques, par une portion de droite éclairée par une source lumineuse à distance finie ou infinie. On supposera les plans de projection opaques.
9. Si une droite est perpendiculaire au premier plan bissecteur, ses traces sont symétriques par rapport à la ligne de terre.
10. Si une droite est perpendiculaire au deuxième plan bissecteur, ses traces sont confondues.
