CHAPITRE m

LE PLAN

§ I. — Représentation du plan,

73. Généralités. — En vertu de la définition donnée au n» 27, on peut dire qu'une figure est représentée en Géométrie descriptive quand on connaît les éléments suffisants pour la déterminer complètement. D'après cela, un plan sera représenté : soit par les projections de trois points; soit par les projections cfune droite et d'un point; soit par les projections de deux droites qui se coupent; soit enfin par les projections de deux droites parallèles. Ces divers modes de représentation se ramènent à un seul, n'importe lequel des quatre ; on prend d'habitude le mode de représentation par deux droites qui se coupent.

Faire passer un plan par deux droites qui se coupent^ signifie construire les projections d'une figure quelconque située dans le plan de ces deux droites. On voit alors comment il faut comprendre les énoncés des problèmes suivants, qui se ramènent au précédent, ainsi que nous lavons déjà dit :

Faire passer un plan : i^ par trois points ; 2<» par deux droites parallèles ; 3<* par une droite et un point.

Ajoutons d'ailleurs qu'une figure étant un ensemble de points, pour apprendre à construire les projections d'une figure située dans un plan, il suffit d'apprendre à construire les projections d'un point de ce plan. Il est plus commode d'apprendre d'abord à construire les

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projections d'une droite du plan, ce qui nous amène à résoudre le problème suivant :

7i. Problème I. — Un plan étant déterminé par deux droites qui se coupent^ construire les projections d*une droite de ce plan.

Le problème ainsi posé est indéterminé, et on peut le déterminer en se donnant soit la projection horizontale, soit la projection verticale de la droite inconnue. Donnons-nous, par exemple, la projection horizontale c d'une droite située dans le plan défini par les deux droites qui se coupent (a, a') et (6, b') ; puis cherchons à déterminer la projection verticale cf. A cet effet, remarquons que la droite C coupe la droite A en un point dont la projection horizontale est m, et dont par suite la projection verticale est m! sur a' et sur la ligne de rappel du point m. Le point (in, m!) est un point de la droite C et, par un raisonnement tout pareil, on voit qu'il en est de même du point (n, n') ; la projection verticale cherchée, (/, n'est donc autre chose que m!n\

On aurait évidemment à faire des constructions analogues pour obtenir c connaissant c'.

75. Problème II. — Un plan étant déterminé par deux droites qui se coupent^ construire les projections d'un point de ce plan.

Ce problème se ramène au précédent : on construit les projections d'une droite du plan ; puis on construit les projections d'un point de cette droite.

76. Remarque. — Le problème II peut aussi être posé de la manière suivante : Connaissant l'une des projections d'un point situé dans un plan déterminé par deux droites qui se coupent^ trouver Vautre projection. La solution ne change pas : on se donne une droite du plan passant par le point, en se donnant la projection de la droite qui est de même nom que la projection connue du point et qui doit d'ailleurs contenir celle-ci ; on est donc toujours ramené au problème I.

77. Horizontales et trace horizontale d'un plan. — On appelle

horizontales d'un plan, les droites du plan parallèles au plan horizon* tal : elles sont toutes parallèles entre elles comme sections du même plan par des plans horizontaux, c'est-àdire parallèles.

Pour se donner une horizontale du plan des deux droites (a, a') et (é, 6'), on se donne sa projection verticale A', parallèle à xy ou, ce qui revient au même, sa cote soit au-dessus, soit au-dessous du plan horizontal ; on

en déduit immédiatement la projection horizontale h par des lignes

de rappel rn/m et n!n.

L'horizontale du plan ayant pour cote zéro s'appelle la trace horizontale du plan : c'est l'intersection du plan avec le plan horizontal de projection ; c'est aussi le lieu des traces horizontales de toutes les droites du plan. Pour l'obtenir, on procède comme pour obtenir une horizontale quelconque du plan, en remarquant seulement que la projection verticale est sur la ligne de terre, ce qui conduit à mener les lignes de rappel f'p et q'q ; on obtient ainsi en pq et p'q' les projections de la trace horizontale. On peut du reste observer que (p, p') est la trace horizontale de la droite (a, a') et que (y, q^) est la trace horizontale de (6, b^) ; ce qui montre que la détermination de la trace horizontale du plan se ramène à la détermination des traces horizontales de deux droites de ce plan. Enfin il est bon de rappeler que la trace horizontale d'un plan coïncide avec sa projection horizontale et se projette verticalement sur la ligne de terre.

78. Frontales et trace verticale d*un plan. — On appelle lignes de front ou frontales d'un plan, les droites du plan parallèles au plan vertical : elles sont toutes parallèles entre elles, comme sections du plan par des plans parallèles au plan vertical.

Pour se donner une frontale du plan de deux droites (a, a') et (4, i'), on se donne sa projection horizontale /*, parallèle à xy, ou, ce qui revient au même, son éloignement soit en avant, soit en arrière du

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plan vertical ; on en déduit immédiatement sa projection verticale /' au moyen des lignes de rappel mm' et nn!.

La frontale du plan d'éloignement nul s'appelle la trace verticale du plan : c'est l'intersection du plan avec le plan vertical de projection ; c'est aussi le lieu des traces verticales de toutes les droites du plan.

Pour l'obtenir, on procède comme pour obtenir une frontale quelconque du plan, en remarquant seulement que la projection horizontale est sur jt;/, ce qui conduit à mener les lignes de rappel pp' et qq' ; on obtient ainsi les projections pq et p'q' de la trace verticale. On peut, du reste, observer que (p, p') et {q^ q') sont les traces verticales respectives des deux droites (a, a') et (6, ô')^ ce qui ramène la détermination de la trace verticale du plan à celle des traces verticales de deux droites de ce plan. Enfin, il est bon de rappeler que la trace verticale d'un plan coïncide avec sa projection verticale et se projette horizontalement sur la ligne de terre.

79. Détermination d'un plan par ses traces. — Quand on veut déterminer un plan au moyen de deux droites qui se coupent, il faut tracer dans l'épure, en outre de la ligne de terre, les projections des deux droites et la ligne de rappel qui joint les points de rencontre des projections de même nom et qui indique que les deux droites se coupent; on a donc à tracer cinq lignes, la ligne de terre étant exclue. Mais, supposons qu'au lieu de déterminer le plan par deux droites quelconques, contenues dans le plan, on le détermine par ses traces. La ligne de terre étant tracée, il n'y aura besoin de tracer ni la projection verticale de la trace horizontale, ni la projection horizontale de la trace verticale : il suffira de tracer la projection horizontale de la trace horizontale, c'est-à-dire la trace horizontale elle-même, et la projection verticale de la trace- verticale, c'est-à-dire la trace verticale elle-même. Il suffira donc de deux droites au lieu de cinq pour délinir le plan, et, par suite, il y a tout avantage, quand cela est possible, à définir un plan par ses traces, au lieu de le définir par deux droites

ANTOMARI. — GÉOV, DE8CB. 4

quelconques. Il y a toutefois une précaution à prendre : t7 faut que les traces rencontrent la ligne de terre au même point. En effet, le plan donné et les deux plans de projection forment un trièdre dont les

arêtes sont les traces du plan et la ligne de terre ; les traces du plan rencontrent donc la ligne de terre au sommet de ce trièdre.

Quand on représente ainsi un plan par ses trace Pa et aQ', on dit : le plan PaQ' ; mais il faut sous-entendre : le plan déterminé par les deux doites (P, P) et (Q, Q). De cette façon on ne perd pas de vue que le plan est représenté par deux droites qui se coupent, et les solutions des problèmes traités sur le plan représenté par deux droites qui se coupent restent les mêmes quand le plan est représenté ou défini par ses traces ; on peut s'en convaincre bien aisément en traitant à nouveau les problèmes I et II, quand le plan est défini par ses traces.

80. Problème III. — Se donner une horizontale ou une frontale d'un plan défini par ses traces.

Cherchons, par exemple, à déterminer une horizontale du plan Paty : c'est, bien entendu, un problème indéterminé et que Ton détermine en se donnant soit la projection verticale, soit la cote de Thorizontale, ce qui revient au même. Soit donc h' la projection verticale

de riiorizontale inconnue ; il nous reste à chercher sa projection horizontale. Or nous savons que la projection horizontale est parallèle à «P ; donc elle sera déterminée si Ton en connaît un point.

Mais Thorizontale inconnue et la trace verticale du plan se coupent en un point dont nous connaissons la projection verticale a' et dont on a, par suite, immédiatement la projection horizontale a. Pour avoir A, il ne reste plus qu'à mener par le point a la parallèle à aP.

On détermine d'une manière analogue une frontale quelconque (f,f) du plan.

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Enfin, ce problème étant résolu, on saura, ainsi que cela a déjà été remarqué plus haut (Probl. II), résoudre le problème suivant : Se donner un point situé dans un plan défini par ses traces.

81. Remarque. — Quand un plan est délini par ses traces, pour se donner une droite du plan on peut se donner les traces de cette droite, situées sur les traces de même nom du plan.