GC = a A' -+- iB' -+- cC -4- dD'-t-eE

il vient (-2) 0= — aA -h ftB h- cC — ^ — cE;

ce qui démontre que, pour toute droite j^ menée par le point G , i« différence entre la tomme des distances de tous les sommets situés d'un coté et la somme des distances des sommets situés du côté opposé , par aiPPoaT A cbttb fiaoïTB y eu ^ale à zéro.

Considérons maintenant une autre droite x'y parallèle aui deux premières, et telle, que les sommets A,B, C,D, . . ., ainsi que le point G, ■oient situés, les uns dans une région (ja9 11), les autres dans la région opposée par rapport à cette droite. Désignons d^ailleurs par a', ft', c',..., g* y les points où elle est rencontrée par les perpendiculaires AA', BB',CC',..., GG'.

Si nous ajoutons aux deux membres de Tégalité (a) ceux de Tcgalité

5.Gf ' = a«' -h hh\-^ ec^ -h <W -h ee'y il Tient r> .G^ ' = Afl' -h Bft' -+- Ce' -h D<î ' — Ee' ,

fou l'on déduit Gg ' = = ;

c'est-à-dire que 2a distance du point G à la droite x'y' est égale au quotient de la division de la différence entre la somme des distances des sommets situés i'tm côté et la somme des distances des sommets situés du côté opposé, par U nombre de ces sommets.

Mais r:n c<>mpreud ordinairement ces diffcrenles propositions dans un •eal énoDoé , en disant que

La dîMtamce du point G à une droite située d'une manière quelconque dans le plan du polygone est égale au quotient de la di9ision de la somme algébrique des distances de tous les sommets à cette droite, par le nombre des sommets, le mot algékriifue signifiant ici que ces disunoes doivent être prises , solvant le sens , les unes avec le signe -f- , les antres avec le signe — .

ScoLiB II. — De là résulte un moyen de — Déterminer, pour tout polygone, I* position du centre des moyennes distances :

Après avoir tracé dans le plan deux droites qui se coupent sou& un angle quelconque , on commence par mesurer les perpendiculaires abaissées de tous les sommets du polygone , sur chacune des deux droites , en ayant soin de distinguer celles qui sont situées dVn côté de chaque droite, de celles qui sont situées du côté opposé ; puis on divise la somme algébrique des distaoeos relatives à chaque droite , par le nombre des sommets.

276 APPKKDICB. SECT I. § I.

Cela fait , on mène, h une distAnee marquée par le premier qaolieni, me parallèle à la première droite (n** 164) , et à une disUnoe marquée par 1cm- ( ond quotient , une parallèle à la seconde droite,

Lo point dUntersection de ces deux parallèles est le centre desmoyema distances.

FiG. 2o3. ScoLiB III. — Dans un triangle quelconque ABC (Jig, ao3), le centre de» moyennes distances n''e6t autre que le point de concourt des trois droitaqii joignent les sommets C, A , B , aux milieux D, E, F, des côtés opposés.

En effet , soient abaissées des points A et B, des perpendiculaires AP, BQ, j sur la droite CD. — Les doux triangles rectangles ADP, BDQ, sont épm, comme ayant l'hypoténuse égale , AO = DB , et un angle aigu égal.

Donc AP = BQ, dVi AP — BQ = o;

ce qui prouve que Tégalité (a) du scolie I (App.) est satisfaite. Ainai la droiic CD passe par le centre des moyennes distances. — On démontrerait de môme que ce centre se trouve sur les deux autres droites AE, BF; doue U est situé h leur intersection.

Le centre des moyennes distances d'un quadrilatère quelconque est Tialersection des droites qui joignent les milieux des cdtés opposés.

Le centre des moyennes distances d'un polygone régulier n'est autre quf le centre de figure.

Le centre de symétrie d^'un polygone symétrique est aussi un centre en moyennes distances ; — etc.

Toutes ces propositions sont faciles à démontrer.

Des centres de similitude.

N<> iO. — OfiSBavATiOR pa^LiMiRAiaB. — Nous avons vu , au n^ 190, qo« deux polygones semblables P, P'> étant situés sur un même plan , il eu toigoors possible d'amener l'un des deux polygones, P' par exemple, dans une position telle , que les cAtés homologues des deux figures soient parallèles et de même sens. Or, il peut se présenter deux cas : on bien, pour satisfaire à cette condition, il suffit d'un simple pivotement du polygone P autour de Pun de ses sommets ; ou bien, il faut avoir recours (n^M) à «& rabattement de ce même polygone autour de l'an de ses côtés, combiné 00 non combiné avec un pivotement.

Pour distinguer ces deux cas l'un de l'autre, noua dirons, dana le premier cas , que les deux polygones sont directement semblables , et dans le second , qu'ils sont inversement semblables.

On a un exemple des deux espèces de similitude, en considérant lesdeas FiG. 196. polygones symétriques ABCDE, A'B'C'D'E' {fg. ig6, n® 4, App.) , et supposant qu''aprè8 avoir tiré les diagonales AC, AD, et pris sur AB uw partie quelconque A& , on mène ensuite bc, cd, dey rt'specttvemeiit |iaral- Tèîes à BC, CD, DE {vojes le nO 277).

Le polygone A6cd!e est directement semblable au polygone ABCDE, et iks»ôr$ement semblable au polygone A'B'C'D'E'.