CENTRES DE SIMILITUDE

Deux polygones sont directement semblables lors même que leurs côtés sont panllëly deux à deux et dirigés en sons contraire, puisque, ainsi que notis TaTona reconnu pour des polygones doués d''on centre de symétrie (n^ 6, App.), il suffit d^un pirotement autour du centre [ou d^un point quelconque delenr plan], pour les amener à avoir leurs côtés parallèles et de même sens.

£o va mot , pour reconnaître si des polygones sont directement on inver^ MiiMitc semblables , il sufBt de s^adsurer si, dans \q cas particulier où ils snraietit un côté égal (n* l69), on pourrait les superposer directement ou inversement (n® 977).

Or, il ne sera question , dans tout oe qui va suivre, que de polygones di* rectememt semblables.

N^ il. — Définition. -^ On nomme Ckmteb sb similitcdB un point placé de U même manière par rapport à deux polygones [directtmcnt] semblables, c^est-à-dîre un point tel, que si on le joint à deux sommets , ou, en général, à deux points homologues quelconques, les deux lignes de jonction appartiennent à une m^na direction, et sont proportionnelles aux côêés homol<^ues.

LfCS distances de ce point aux sommets on aux pointa homologues , sont dites des rayons de simlitude.

Théorème V. (Fig. 3o4 et ook bis.) ^»c- ,^^

^ ^ ^ ^ ' et ao4 bis.

îs^ 12. — Si d'un point O pris à volonté sur le plan d'un polygone AfiCDË, 9a mène des droites à tous les sommets , et que sur tes droites (Jig. ao4) ou sur leurs prolongements (Jig. to4 bis) , on prenne des parties Oa, O^, Oc , . . . qui leur soient proportionnelles,

i<* — Les points [a , fr, r, . . . J ainsi obtenus déteimineront un second polygone \abcde] scmhlahle au polygone donné ;

elu^ -i- Le point arbitraire O sera le centre de similitude des deux Jaurès,

En effet, — lO-'Les triangles OAB, Oab, sont semblables comme ayant Un angte égal [en Oj compris entre côtés proportionnels; d''où Ton déduit eaji^le OBA = angle Oba ; donc (n<> 46) AB est parallèle à â& ; et Ton a la suite

de rapporU égaux AB : ah :: OA : Oa :: OB : Ob.

On démontrerait de la même manièfe que les côtés BC , be sont parallèles , H que Ton a cette suite de rapports égaux

BC : bc :: OB : Ob :: OC : Oc;

et ainsi dt suite, de proche en proche.

D^où IVn voit que les deux polygones ont les angles égaux et les côtés homologues proportionnels; donc (n^* 189) ils sont semblables.

1* — Soient M et m, deux points homologues pris à volonté dans les poI\gones ABCBE, abcde; et Joignons lo point O avec les points M et m. C^la posé , puisque M et m sont des points homologues , on a (n^ 199)

angle MDC = angle mdc, et MD : md :: DC : de.

O'ailleors, à cause de la similitude des triangles OOC, Ode,

angle 0\K. = angft Ode, et DC : ifc :: OD : 0<f :: MD : m^.

2^8 APPKNDICE. StCT. I. § I.

Ainsi, les triangles OMD, Omdf sont semblables comme ayant un angle égal [MDO = mdO] compris entre côtés proportionnels. Mais les trois poinu D, d, O, sont en ligne droite ; donc aussi , les points M, m, O, sont en Ugiv droite; et Ton a en même temps OM : Om :: DC : de.

Ce qui veut dire , premièrement, que toute droite homologue commune ani deux polygones pass* par le point O, et , en second lien, que les partiel de eettc droite comprises entre le point O et les points homologoea , sont dgas le rapport de similitude des deux polygones.

Fie. aQ4« ScoLiE. — Le point O {jîg. lo j), correspondant au cas où les côtés boiDolognes des deux polygones semblables sont parallèles et dirigés daosle même sens, est dit un centre de similitude externe, parce qu^en eOel il »t situé en dehors sur le prolongement de la droite qui joint chaque conpledt' Fie. ao4&f<. points homologues; — le centre de similitude est dit interne (Jig, oo\Us lorsque les côtés homologues sont parallèles et dirigés en sens contraire. parce qu''alors Vi est situé entre deux points homologiies.

On doit toutefois observer qu'un'centre de similitude interne peut èlrei<v-.> des deux polygones, et qu'un centre de similitude externe pourrait être m dedans de Tun et de Tautre, puisque, d'après renoncé du théorème^ le p ir.i O a été pris à volonté sur le plan.

Fie. 3o4 Tbéobèiie VI. {Fig. 304 et 204 his.)

et ao4 his^

N<^ 13. — RfciP&OQDCHBifT : — Deux polygones semblables dont Us côtt* homologues sont deux à deux parallètcs et dirigés dans le méhte sens ou en tno contraire, ont un centre de similitude qui est externe dans le premier cas, ('■ interne dans le second.

En effet , joignons d'abord deux couples de sommets homologues A et « , Beib'j prolongeons les droites de jonction , Aa, Bb, jusqu'à leur rcocomn: en uji certain point O, et joignons successivement le point O aux pointset c, D et J, £ et e. — Cela pose, puisque AB est parallèle à ab, les dcii triangles OAB, Oa&, sont semblablos , et donnent

AB : tfft :: OB : 0&, et angle ABO = angle abO ;

on a d'ailleurs AB : ab :: hC : bc, et angle ABC = angle abc ;

d'où Ton déduit OB : Ob :: BC : bc , et angU CBO = angU cAO;

donc les deux trîtnglfs OBC , Obc , sont semblables comme ayant un anglo ^ égal [en B et 6] compris entre côtés proportionnels , et donnent par coom-

quent angle BOC = angle bOc.

Donc, puisque les trois points B, &, O, sont on ligne dioîte, il en 01 «i» môme des trois points C , c , O.

On prouverait ainsi de proche en proche, que D, rf, O, et E, ^, O, $c»ki en ligne droite. — Donc, etc.

ScoLis I. — Dans le cas où les deux polygones sont égaux [les o6tês h mologues étant toujours parallèles} , le centre de similitude est sitoë à l

4Ï- It.-