TEENES D*UN MÊME CÔTÉ

3*» — les angles internes AMF et DNR., ou bien CNE et BMF . situés décotes différents par rapport à la sécante, sont nomm*des angles alternes-internes ;

4° — les angles externes AME et DNF, ou BME et CNF, soi-' appelés alterne^externes.

On compte deux couples d'angles de chacune des quatre esptc^ précédentes.

5"^ — Enfin, on donne le nom d'angles correspordauts ai: quatre couples d'angles AME et CNE , AMF et CNF, BME et DNE BMF et DNF, qu'on devrait plutôt , d'après leurs positions respe( tives, appeler angles interne-externes d'un même côté ^ mais poiî' abréger , on emploie de préférence la première dénominati<»ii

Fic. 3o. TiiÉORiME n. {Fig, 3o.)

N* 46. — Deux droites , \Bj CD, sont parallèles lorsqu'tlù' forment avec une sécante, EF, deux angles alternes-internes [AW> et DNM , ou BMN et CNM ] égaux entre eux.

En effet , admettons pour un moment que les segments MA . NC , par exemple, puissent se rencontrer; et, dans cette hypo thèse, faisons y9tVor^r(n'' 19) la portion de plan AMNC autour du

PARALLELES. Bq

point 0 milieu de MN, de manière que OM vienne prendre la position primitive de ON, et ON celle de OM ; alors le segment MA prendra la position ND, et ND la position MB , à cause de Tangle AMN égal à DNM , et de Fangle BMN égal à CNM , d'après renoncé. Or, les segments MA, NC, ne cessant pas de se rencontrer dans leur nouvelle position , il faut nécessairement que les segments MB, ND, avec lesquels ils coïncident actuellement , se rencontrent aussi; d^où il résulterait que les deux droites AB, CD, auraient deux points communs sans coïncider, ce qui est absurde..

Donc enfin les deux droites AB, CD, sont parallèles. C, Q. F. D.

iN'° 47. — CoBOLLAiEE. — Dcux droiies sont encore parallèles dans les quatre cas suivants :

I** — lorsque les angles correspondants sont égaux ;

2* — lorsque les angles internes d*un même côté sont supplémentaires ;

3" — lorsque les angles alternes-externes sont égaux ;

4° — lorsque les angles externes d'un même côté sont supplémentaires.

En effet, dans le premier cas , soit, par exemple,

angle AM^ = angle Cm-, comme on a aussi (n° 99)

angle C^F =: angle ^i^Dj

il en résulte AMN =r MND ; et la proposition rentre dans le théorème principal.

Quant au second cas, soit AMN supplémentaire de MNC; comme MND est aussi supplémentaire de MNC, il en résulte (n® 28) AMN = MND ; et la proposition rentre encore dans le théorème principal.

Les iieux derniers cas, qui sont d'ailleurs sans application , se traiteraient d'une manière analogue.

TaiomKMB m. (jRg. 3i .) Fie. 3f

^043. — Deux droites, AB, CD, convourent lorsqu'elles forment avec une transversale, EF, des angles alternes-internes inégaux.

FiG. 3i