AM' : M'B :: DN" : N'C

Môme remarque par rapport au second mode de génération. *

N<> 55. — Aprèe le plan gauche, ▼ient la surfhce eonoïde, ou la sur&f? engendrée, par eiample, par une droite hortsontale qui se ment le lo^ d'une verticale, en s'appuyant en même temps sur une courbe qu'on «^ pose ordinairement tracée, soit dans un plan Yertical, soft sur no cyUn^ dont Paxe est vertical ( *).

Des sections cylindriques et coniques.

Nous terminerons cet Appendice par la recherche de la nature des ioterseetions d^un cylindre ou d^un cdne par un plan.

Fie. 38o THtfoaim IIl. {Fig. dSo.)

Ho 35. ^ j)ans un cylindre droit circulaire, toute section AMBM' ohh?^ aux bases, est une ellipse.

Concevons deux sphères, de même rayon que le cylindre , tangentes ea F et F', au plan sécant, et qui, inscrites dans ce cylindre, touchent ssss face latérale selon les circonférences ayant pour diamètres ah, a'V, Joignes les pointa F, F', à un point quelconque M du contour de la section, r. tirons la génératrice KMK' : comme les droitea FM, F'M, RK', tanà» les sphères aux poinUP, F, K, et K', on a ( nO 103} MF=M& , MF=>IK et par suite , FM + F'M = MK -4- MK' = KK' = m' = bh\

Donc, quelle que soit la position du point M sur la courbe, la soio»^ des distances de ce point aux deux points fixes F, F', eat égale à la qnan^t^ constante aa' ou hh'.

(*} Ce* Mrtes de tarlace* ont rc^a dtni le» «rt« , l«ft noms ée w^tUs d'arSu , àe tfo^ coniques, de surface* rampanU*, «te...— Telle e»t la rarface iBOriciire d'un cscaticr i9sm< dont les direarices sont , .— to — Vaxe vertical d'on cylindre qni forac le nojam de Xe<t)ix^ .. 30 —une cotirbe nommée hélice , tracée lur la Aurface d'an aHlrc cylindre aasù Trni<«l

Cette dernière furface, nommée surlace Mliçoid*, e«t encore la base de la coartracl»''-la vis , macliine fréquemment employée dans les art* mécantqBea.

DBS SECTIONS CSYLINDBIQUSS ET CONIQUES. 5l5

Cette quantité constante etl d'ailleurs é^\e h AB; car on a

0 Afl'= AF' (mé^ numéro) , Aa= AF, d'où /itf'= Ar'H-AF=FF'H-aAF; « W =: BF' , B&= BF , d'où ii'= BF' -h BF=FF'-+- aBF' i

looc, à cause de aa' = &&', AF = BF', et par conséquent aa' = bV = AB.

Ainsi ( b9 49y 1*' ^P')t 1a courbe est'une ellipse dont le grand axe est AB, t les foyers sont les points F, F', où les deux sphères toocbent le plan de K sectioD.

TbIorèiie IV. {Fig. 38i.) Fir.. 38i

N^' 57. — Tout cxlittàre ohli^tÊe à bases circulaires ( n^ 30, a* -^P*) P^uf Ire campé suivant un cercle par un plan non parallèle aux bases.

Car le symétrique da plan de la base AB, par rapport à une section UN «rpendlculaire aux arêtes , co^e le cylindre suiTant une figure A'fi' symérique de cette base, et par conséquent, suivant un eercle qui a pour rayon )'A' = OA.

Scouf. <— Ainsi , en un point quelconque de la snrûice cylindrique, on «ut faire deux sections circulaires égales. — On les nomme sections antiwallèles.

TBGoaÈKE V. (Fîg, 38a , 383, 384-) Fie. 302, 383,

N*' 38. — Dans mm eône droit circulaire, toute section qui ne passe pas par e sommet, est Mtne ellipse, une hyperbole, ou une parabole.

Il peut arriver que le plan coupant rencontre toutes les génératrices du ône d'un même côté par rapport an centre S {fig. 38a), ou bien qu'il ren> Fie. 382. entre les unesd\m côté , les autres de l'antre {Jig, 383), ou bien enfln qu'il Fie. 383. oit parallèle à une seule d'entre elles (Jg, 384). l* i<i- ^84.

pREMisa CAS. — {Fig. 38a.) — Soit SAB le plan conduit suiTant Taxe SO perpendiculairement à la section AMBM'. Concevons deux sphères ayant les sèmes centres et les mêmes rayons que la circonférence inscrite au triangle >AB, et celle des circonférences ex-inscrites qui touche AB (n° 127, scol, I); es sphères touchent le plan coupant en F, F', et la surface conique selon les irconférences ab, a'b'^ dont les plans sont perpendiculaires à Taxe. Joignons 38 points de contact F, F', à un point quelconque M du contour de la section lHBM', et tirons la génératrice SM. Cela posé , puisque FM, F'M, SM, touhent les sphères aux points F, F', R, et K', on a

MF=:MK, MF = MK', d'où MF-+.MF' = KK' = iîfl'= &*'. On prouverait d'ailleurs comme pour le cylindre (n^ 36) , que

aa' = hh' = AB.

Ainsi (n^' 40, i^^ ^PP')i la section est une ellipse dont le grand axe est

5l6 APPKMDICK. — S£CT. It.

AB> et 1m foyert sont Jet points F, F', où les deux sphères t*uclMnC k fhi de le section. «

Fie. 383. Dedxiâmb cas. — ( %. 383.) • Prolongeent tontes les ^énérafneet d» ^ cône poor former le cAne opposé , et faisant des constnietions et des ni- ^ Ronncments analogues anx précédents, on troaTe F'M — Fltf=««'=âE. D*oà il suit que la section MAM' est ane branche dliyporbole dont r>i'transverse est AB, et qui a pour/tr^rj les pointa F, F^, où les deaz ^ihèrs touchent le plan de la section. '

FiG. 384- TaoïsiiMi cas. — [Fig, 384^) -> Si la section , et par suite la droite AB, ^ sont parallèles à la génératrice S&, il vient encore MP = MK; les plans ^ etSèK rencontrent le plan de la section selon les droites XT et MT, l'rac perpendiculaire, et Pautre parallèle ^ AB ; ainsi , Ton a MT : Se : : H& :SL i Mais Se = SK -, donc MX = MK , et par suite MF r= MT. i

D'oè il résulte que la section MAM' est une parabole dont F ot XT »oet ^ le fcjer.et la directrice (n® i{7, i« Ajtp.).

ScoLiE. ~ Qn Toit maintenant pourquoi Vetlipse , VhrperioU, et Itfsrh hole, sont désignées sous le nom commun de sections eom^nes. — ÏAs actions circulaires sont comprises dans VeUipse.

^»«- ^^- TwÉoatire VI. ( /^. 385. )

MO 59. ^ Tout cône oblique à base circulait^ SACB, petu étrecmpémvant un cercle par un plan non parallèle k la base ACB.

La surface sphérique déterminée par le sommet S et trois points pris i volonté sur cette circonfiérence, contient évidemment cette ctreonCénon Tirons le diamètre SOI de cette sphère: il est Escile de prouver que (o«i' section ab f^ite dans le cône par un plan perpendiculaire à ee daiaèir en un point quelconque o , est an oercle.

En effet , menons arbitrairement la génératrice SC qui est reneosuv fMir le plan ab en un point k; puis joignons les points C et A respectiveoic: aux points 1 et opar les droites CI , ko : les angles SCI , kol , sont droîu,-premier parce qnHl est inscrit dans la demi-circonférenco SCI , le tee»parce qne SI est perpendiculaire au plan coupant eè ; donc le quadrilaW" lCX:o est inseriptible à une corUine circonférence (n« 199) j d'où il résalteq?^

SI X So = SC X S* (no M9).

Soient maintenant SH la^hauteur du cône , ctA^la perpendiculaire»-'* sur SC dans le plan SCH : les '.angles CH^, gkC , étant droiu, le qs**' lalère CH^ fournit aussi

SC X SA = SH X Sif i donc , à cause de la^première relation -, ou a également

SI X So = SH X f^e-

Dn SICnOV» CTLUfDElQUE& ET GOHIQUBS. 5l7

r, puUqiie les droites SI , So, SH , sont in?ariables , la disUnce S|^ est i constante. Donc les droites kSykg, menées d^onj^point quelconque k ontour «le la section ah aux points fiies S et ^, se coapent à angle droit, suite y ce contour est situé oatièrement sur laTsurface sphérique déeritc le diamètre S^. Mais on sait que toute section plane d^une sphère est un le ( n^ 565); donc, etc.

cohSK. — Ainsi , en un point quelconque de la surface d^un cône oblique ase circulaire, on peut, comme sur le cylindre, obtenir deux sections ulaires y que l'on nomme encore des sections anti/utrallèles.

^irc:£.ijsiON. — Les principes qui viennent d'être développés is cette section du deuxième Appendice, peuvent être consi- *és comme une espèce d'introduction à la seconde partie de la ométrie descriptive, dont le troisième chapitre du livre ni con- ;ue ce que Ton est convenu de nommer les PréUminaires, Cette seconde partie, beaucoup plus étendue, a pour but spé- 1 de fiadre connidtre des méthodes — ^i** — pour mener des tns tangents aux surfaces courbes définies de forme et de posin , — 2*» — pour déterminer les intersections mutuelles de deux

plusieurs surfaces, — 3® — lorsqu'il s'agit de surfaces déve* >pables, pour en construire le développement, et déterminer, dans

développement, la forme que prennent ces intersections, etc.... us un exposé, même fort succinct, de ces méthodes, nous enunerait beaucoup trop loin^ et nous renvoyons, pour cet objet, ix Traités de MM. Monge et Hachette, ainsi qu'aux ouvrages us élémentaires de MM. Leroy et Lefebu&e de Foubct.

FIN DU ftEC0!1D APrsilDtCE.