IE>IF; C. Ç. F. D
N, B. — La corde CD perpendiculaire au diamètre AB est la seule qui donne lieu à deux segments égaux, OCr= OD. Pour toute autre corde EE', le segment de corde lE compris dans le plus grand segment de cercle CAD , est plus grand que le segment de corde restant lE' compris dans le plus petit segment de cercle CBD .
Et en comparant deux cordes quelconques EE', FF', on voit facilement que , si l'un des segments lE de la première est plus grand qu'un segment IF de la seconde , c'est-à-dire , si angle Hk<^anglr F'IA, par compensation , le segment lE' restant de la première, sera plus petit que le segment IF' restant de la seconde, puisque Ton aura alors angle FIB > angle E'IB.
N° 114. — ScoLix II. — On parvient à des résultats analogues,
Fie. 7îi. en supposant que les droites partent d'un point extérieur {fig. 7a) ;
mais au moyen de la remarque qui termine le n® 105, on peut
comprendre toutes les propriétés relatives à ce second cas, dans un
seul énoncé beaucoup plus concis :
La distance d'un point extérieur 1 à la partie concave de ia circonférence, est d'autant plus grande, et sa distance à la partie convexe est d'autant plus petite, que la direction sur laquelle se compte cette distance , se rapproche davantage de celle qui contient
le centre.
Nous nous dispenserons de démontrer les diverses propositions que comporte cet énoncé , parce que les démonstrations sont, en tous points , semblables à celles du scolie précédent ; setilement , nous ferons deux observations assez importantes :
Premiàhehent, la ungente IL , qui peut être considérée comme la limite commune entre la partie concave du cercle et la partie convexe , est à la fois le minimum des droites menées à la partie concave , et le maximum des droites menées à la partie convexe.
En SECOND LIEU, lorsqu'uue droite, telle que lE, part d'un
MXSU&l UKS AXCLKS. 83
point extérieur I, et va rencontrer la circonférence en deux points £y E'y on nomme ordinairement sécante entière ^ le segment de cette droite qui aboutit à la concavité , et partie extérieure de cette sécante , le segment qui aboutit à la convexité. Or, il résulte évidemment de ce qui précède, que si une sécante entière est plus grande qu'une autre, par compensation , la partie extérieure de la première est moindre que la partie extérieure de Tautre. [Voyez la fin du scolie précédent.)
§ II. — Mesure des angles.
Le titre de ce paragraphe peut sembler, au premier abord , une ' espèce d'anticipation sur le second livre , dont l'objet principal ^oitétre (n° 25) la mesure des grandeurs géométriques comprises dans un plan. Cependant, il est très-utile, quoiqu'à la rigueur on pût s'en dispenser, de donner dès à présent la théorie de la niesure des angles, théorie d'où dépendent un grand nombre de propriétés des figures rec^tilignes , abstraction faite de leur étendue.
Propositions et questions préliminaires.
N" iltf. P&CHiiBB QUESTION. — Déterminer la commune mesure de deux droites, et par suite, leur rapport numérique.
On nomme ordinairement gommuhe hesukb de deux droites données de longueur, la plus grande droite susceptible d*étre contenue an nombre entier de fois dans chacune d*elles (*).
Le principe qui sert de base à la recherche de la commune memrcy analogue au principe sur lequel s'appuie la détermination du plus grand commun diviseur de deux nombres, consiste en ce que
La commune mesure de deux droites est égale à la commune mesure entre la plus petite des deux droites et le reste de leur division, reste qu'on obtient en retranchant celle-ci de la plus grande blutant de fois que cela est possible.
{*) Il Berait plus exact de dire : In plus grande commune' mesure . comma on dit : le plus grand commun diviseur d« deux nombre».
84 l'IV. I. — CHAP. II. § II.
Or, comme la démonstration de ce dernier principe ne dîfienp pas essentiellement de celle du premier, nous nous contenterons de renvoyer à V Arithmétique. — Cela posé, voici en cpioi consiste le procédé pour obtenir cette commune mesure :
Portez [à l'aide du compas (n° iiS) ] la plus petite droite sur la plus grande autant de fois que cela est possible;
S'il n'y a pas de reste, la plus petite droite est la conunane mesure ; mais si vous en obtenez un ,
Portez le reste sur la plus petite droite autant de fois que possible :
Si vous n'obtenez pas un nouveau reste, le premier est la commune mesure ; mais s'il y en a un ,
Portez le second reste sur le premiery et continuez cette série d'opérations jusqu'à ce que vous obteniez un reste susceptible d'étrr contenu un nombre exact de fois dans le reste précédent :
Dans ce cas , le dernier reste obtenu est la commune mesure cherchée.
En Arithmétique , après avoir obtenu le plus grand commun diviseur, on divise chacun des deux nombres proposés par ce commun diviseur; et le quotient des deux résultats est la fraction ou le nombre fractionnaire qui exprime le rapport des deux nombres proposés, réduit à sa plus simple expression.
Mais ici, pour obtenir le rapport numérique des deux droites, ce qui forme la seconde partie de la question que nous nous sommes proposée, il est nécessaire d'exprimer numériquement les opérations graphiques qui constituent le procédé. Fie. ^1 Pour fixer les idées, soient A et B [fig. ^3) les deux droites données [ A étant plus grand que B ] ; et supposons qu^après avoir porté B sur A , 3 fois , on ait obtenu un reste R ; que ce reste R , porté 2 fois sur B , ait donné le reste R' ; que ce second reste , porté i fois sur R , ait donné le reste R" ; et quVnfin R" soit contenu 4 ^ois exactement dans ce reste R'. On aura , en conséquence , les égalités suivantes :
A = 3B4-R, B = 2R-f-R', R=iR'-hR", R=:4R''.
Or, si Ton remonte successivement de la dernière aux précédentes, on obtient d'abord
MESURB DES ANGLES. B5
puis B = 2 X 5R'' -h 4R" = 4R'»
puis enfin A = 3 X i4R" -h 5R" = 47 R". D'où l'on voit que la commune mesure R'^ est contenue 47 fois
An
dans A , et i4 fois dans B ; donc -^ est le rapport numérique des deux droites.
N, B. — Le nombre fractionnaire auquel on parvient ainsi , est toujours irréductible ; car si l'on désigne en général par a la com> raune mesure trouvée par le procédé ci-dessus, par m et n \es deux nombres qui expriment respectivement combien de fois a se trouve contenu dans A et dans B» on a A = //ia, B = /ia;
d où -—=:—. Or, si /y? 9 /t , avaient un facteur conunun X^ , il en ré- B n
sulterait A = m'k a , B = /l'A a ; et alors Aa. serait une mesure commune de A et B ; se ne serait donc pas ta plus grande, ce qui est contraire à la définition.
N® 116. Deuxiàmb question. — Déterminer la commune mesure de deux arcs d'un même cercle, ou de cercles égaux; et, par suite, Itur rapport numérique.
Tonte la difficulté consiste ici à savoir comment on porte plusieurs Uns de suite un plus petit arc CD (fig, 74) sur un plusp^ /^ grand AB, tous deux étant décrits avec le même rayon.
Pour cela , on prend une ouverture de compas égale à la corde de Tare CD, et Ton porte cette distance sur Tare AB, de A en £, de £ en F, de F en G. On trouve ainsi que Tare AB contient l'arc CD trois fois par exemple, avec un reste GB; les arcs AE, EF, FG, sont égaux à l'arc CD (n° 108), puisque, par construction, leurs cordes sont égales.
L'ensemble des opérations nécessaires à la détermination de la commune mesure de deux arcs, est d'ailleurs le même que pour deux droites ; ainsi , il serait superflu de s'y arrêter.
N® 117. — Rema&que importante sur les lignes [et, en général , sur les grandeurs] incommensurables entre elles.
Nous avons supposé dans le n® lltf, qu'après un certain nombre d'opérations, on finissait toujours par arriver à un reste
8B T.IV. I. r.HAP. II. — § II.
des angles et celui des arcs ont les mêmes valeu» approximaiive5,
— y—Ty -17 V î c^ Q^'iï ïï^est pas un seul de ces nombres frac- /« n n '
tionnaires , qui , exprimant le rapport des angles avec une certaine
approximation , n'exprime aussi le rapport des arcs avec le ménu'
degré d'approximation.
Or, concevons le plus petit angle A'CÏ B' divisé en n parties
égales, et portons une de ces parties m fois consécutives sur l'ani^lo
AOB à partir de OA. — Puisque, par hypothèse , le rapport âts
angles est compris entre — et , cette opération donne lieu a
un reste angulaire moindre que le - de A'0'B^ Maintenant, il est
facile de voir que Tare A'B' se trouve alors divisé en n parties éga)e5,
et que l'arc AB contient un nombre m de ces mêmes parties,
avec un resrp* qui est nécessairement moindre que Tune d'elles;
d'où il résuhe que le rapport des arcs est lui-même compris entiv
— et .
fi n
Donc — représente , avec le même degré d'approximation [cVstn
à-dire h - près], le rapport des angles et cehii des arcs.
Comme le même raisonnement s'appliquerait aux autres nombres — ^, -77 ,.••> OB est en droit de conclure (n** 117) que
Las angles sont proportionnels aux arcs qui leur corrcspoMdi'ftt.
La rkgiproquk est vraie et se démontrerait de la même manière.
Thkoeème il
N® 1 19. — L'angle au centre a pour mesure l'are de cercle compris entre ses côtés»
Cet énoncé signifie que , si Ton rapporte , d'une part , Taugle proposé à V angle droit qui est Vanité naturelle des angles [comme riant celui de tous les angles dont on se forme l'idée la plus nette] , ot d'autre pai't^ l'arc décrit du sommet de l'angle donné , comme
UBSURK DES AHOLBS. 89
rentra y au quadittnt, c'est-à-dire au quart de ia circonférence doDt Tare fait partie, le rapportée l'angle à Tangle dmii est égal I n° 118) au rapport de Tare au quadrant; ou bien
angle AOB : i angle droit : : arc AB : i quadrant -
(T (pii veut dire que le nombre abstrait qui exprime le rapport de Tare à son unité , ou la mesure de l'arc (n^ S) , exprime en même temps la mesure de l'angle.
N. S. — On écrit alors , pour abréger, et conformément à l'énoncé,
, AOB = AB ;
mais, pour comprendre le véritable sens de cette égalité, il faut supposer l'angle et l'arc rapportés à leurs unités respectives.
N* 120. — ScoLiE I. — Afin de pouvoir mesurer plus facilement les arcs , et par conséquent les angles , on est convenu [dans le iYstème lies anciennes mesures] de diviser la circonférence entière fn 36o parties égales appelées degrés , chaque degré en 60 parties (-gales appelées minutes , chaque minute en 60 secondes, chaque seconde en 60 tierces, etc. : — cette méthode de division est dite
SEXAGÉSIMALK.
Il en résulte que le quadrant vaut 90 degrés [qu*on indique ainsi : 90**], puis 90 X 60 ou 54oo minutes [ou, pour abréger, ^4^']) puis 5400 X 60 ou 324000 secondes [ou 824000'']; et ainsi de suite.
Veut-on exprimer un arc qui ne renferme pas un nombre exact ^ d^rés? On dit , par exemple, que cet arc vaut 47"i9'a4'S ®^ qu'il est de 47" '9' 24".
On dit encore quelquefois , par abréviation , que l'angle luiaéme est de ^'j^j^'t.^". Mais pour obtenir dans ce cas, le nom- ^t abstrait qui exprime le rapport de l'angle à l'angle droit , il faut, d'après les règles de l'arithmétique :
»" — Convertir 47*** 9' 24" en secondes , ce qui donne 1 7o364" ;
^" — Diviser ce nombre par 824000 , nombre de secondes que 'ootientle quadrant,
Un trouve ainsi -—-7 pour \r rapport dcmantlc.
