CO&DSS, SÉCANTES, TANGENTES

conditions différentes, savoir: — i° — elle passe par le centre du (t?rcle; — 7? — par le point I milieu de la corde AB ; — 3** et 4** — par les points C , D, milieux des arcs ACB , ADB ; — 5® — enfin , elle est perpendiculaire à AB. — Or, deux de ces conditions entraînant nécessairement toutes les autres, il en résulte autant de théorèmes distincts qu'on peut faire de combinaisons avec 5 choses prises 2 à 2,

c'est-à-dire, conformément à la théorie des combinaisons, -,

oa 10.

Ainsi Ton pourrait établir ici dix propositions distinctes [y compris le théorème précédent] ; mais nous nous bornerons à citer les sfflvantes, comme les seules susceptibles de se reproduire souvent :

I® — La perpendiculaire ID , élevée à une corde AB par son milieu I , passe par le centre , et par les milieux des arcs correspondants;

2* — La droite 01 , menée par le centre et par le milieu I d'une forde AB, est perpendiculaire à cette corde, et passe par les milieux des arcs f

3* — La droite OC , menée par le centre et par le milieu C d'un ^rc, est perpendiculaire à la corde soute ndante , passe par son milieu , et par celui du second arc ; — etc.

Toutes ces propositions se démontreraient, soit directement , soit par la réduction à l'absurde, avec le secours du théorème principal.

Nous observerons seulement que de la seconde proposition qui vient d^étre énoncée il résulte encore , que

Deux cordes qui se coupent mutuellement en deux parties égales, t«r nécessairement des diamètres.

Car si elles ne passaient pas par le centre, la droite qui joinàrvx le centre à leur point milieu , serait à la fois perpendiculaire Ji deux droites ooncourantes; ce qui est absurde (n° 27).

TaioEiME m. {Fig, 68.) ^'*' ^"

V 107. — Dans un même cercle :

Les arts AC , BD , compris entre deux cordes parallèles AB , <D , sent égaux ; Et il en est de même si Tune des cordes devient une tangente

78 LIV. I. CHAP. 11. § î.

PQ , OU bien si les deux droites sont des tangentes, telles que M!f etPQ.

Peemier cas. — Abaissons du point O la perpendiculaire OL. commune aux deux cordes; elle contiendra (n° lOiS) le milieu de chacun des arcs soutendus par AB , CD ; et l'on aura

arc KL = arc LB, arc CL z= arc LD; d'où Ton déduit

arc AL — arc CL = arc LB — arc BD , ou arc AC = arc BD.

Deuxième cas. — Soient la corde AB et la tangente MN. — Joignons le centre O avec le point de contact L de la tangente M> ; cette droite est à la fois perpendiculaire à MN (n° ^OH), et à sa parallèle AB ; ainsi (n** 105) les deux arcs AL, LB , sont égaux.

Teoisixme cas. — Soient les tangentes parallèles MN, PQ. — (h a reconnu (n** i05, 4^) que TX)I est un diamètre ; ainsi les arcs LAI 9 LBI , sont des demi- circonférences (n® 15) ; ces arcs sont dooc égaux.

ScoLiE. — Les réciproques des deux dernières parties de cette proposition sont vraies sans restriction , et se démontreraient facilement par la réduction à l'absurde, — Quanta la. première partie, il faut, pour que la réciproque soit vraie, l'énoncer aio^*

Quand les arcs [d'un même cercle] compris entre deux droites qui ne se rencontrent pas dans le cercle, sont égaux, tes dcuz droites sont parallèles ;

Et elle se démontrerait aussi par Tabsurde.

Fie. 69. THÉORiME IV. {Flg. 69.)

N*> 108. — Dans un même cercle , ou dans des cercles égaux .

i® — A des arcs égaux correspondent des cordes égales, et ces cordes sont également distantes du centre ;

2° — Si deux arcs sont inégaux , et moindres, chacun , qu'une demi-<irconférence , — Au plus grand arc correspond la plui grande corde; et celle-ci est la moins distante du centre.

COADES, SKCANT£S ET TANGENTES. TQ

Observons d'abord que y deux cercles de même rayoa étant toujours soperposableSy rien n*empéche de supposer que les cordes appartiennent à un même cercle.

Gela posé y — i^ — considérons d*abord les arcs égaux AEB, CFD ; et abaissons du centre 0 les perpendiculaires OK , OL, sur les cordes Afi, CD. Tirons le diamètre MON par le milieu M de Tare âC , et plions la figure suivant MN : il est clair que les points C , D, viendront s'appliquer sur les points A, B; et alors , la corde CD coïncidant avec la corde AB > il en sera de même des perpendiculaires OL , OR.

Donc AB = CD, et OK = OL.

7? — Soit y en second lieu, arc AB ]>• are CF.

Plions la figure suivant le diamètre MON : comme on a arc AB ]> arc A£ , le point F tombera nécessairement en un point E situé entre A et B ; et le milieu de l'arc AE , que détermine (n° 105) la perpendiculaire 01 abaissée du centre sur la corde AE, sera plus voisin du point A que le milieu de Tare AB que détermine la perpendiculaire OK abaissée sur AB; donc le point K doit être placé entre le point B et le point G où 01 rencontre AB.

On a par conséquent , AK, moitié de AB, plus grand que AG, et , à plus forte raison , plus grand que AI moitié de AE ; d'où

AB > AE ou AB > CF.

On a pareillement

OK < OG (n»59), ^, à fortiori, OK < 01; C. Q. F. D.

N** 109. — ScoLiB I. — Les réciproques de ces deux propositions, qui sont d'ailleurs de deux espèces pour chacune d'elles, se déduiraient plus facilement du principe établi au n? Si .

Ainsi, Ton peut affirmer que, dans un même cercle ou dans des cercles égaux ,

I* — ji des cordes égales correspondent des arcs égaux; — et €fs cordes sont également distantes du centre ;

2° — A une plus grande corde correspond un plus grand arc; — et cette plus grande corde est la moins distante du centre.

80 LIV. ï. — CHAP. II. § ï.

Ensuite ,

lO — Deux cordes également distantes du centre, sont égaies: — et elles soutendent des arcs égaux ;

2** — De deux cordes inégalement distantes du centre , cellt qui est la plus voisine du centre , est la plus grande; — et elk soutend un plus grand arc.

N. B, — Il est bien entendu y toutefois , que les arcs considéra ici sont moindres qu'une demi- circonférence ; autrement, ii faudrait modifier ces propositions j dans ce qu'elles ont de relatif aux arcs.

Fie. 67. W i 10. — ScoLiB n. — La distance 01 {fig. 67) du centre à hw corde AB , varie entre zéro et le rayon. Elle est nulle quand k corde passe pai* le centre ; et elle devient égale au rayon quand U corde, que Ton peut concevoir se mouvant parallèlement à ellemême de O en C , vient prendre position suivant la tangente MO, droite qui (n® i02) est aussi perpendiculaire à 0€.

D'où Ton peut conclure , en passant, que la tangente est uoe corde , ou plutôt une sécante, dont les deux points d'intersection sf réunissent en un seuL

On peut encore démontrer cette propriété de la tangente de k manière suivante : — Menez, d'un point quelconque A de la cir-

FiG. 70. conférence {fig. 70), une droite AB qui la rencontre en un second point C ; et concevez que cette droite fasse une révolution entière autour du point A , dans le sens AC'AC. La droite AB , dans ct> mouvement , prendra les positions successives AB', AB'\ AB",..., au-dessus de AB , puis Kb, Ab\ . . . , au-dessous de AB ; en même temps» le point C prendra les positions C, C, C*',..., c, c',..,, en se rapprochant du point A pour s'en écarter ensuite. Or il est clair que la droite AB , pour passer de la position AB* par exemple , à la position Ab , aura dû se confondre avec la tangente MA> qui est une position intermédiaire , et qu'au mémo instant , Kpoint C, pour passer de C en c, aura dû tomber en A. Donc U tangente MAN est réellement une des positions de la sécante, a c'est celle pour laquelle les doux points d'intersection se sont rrnni^ en un seul; C Q. F, D

, r.OKUKS, SKCANTSS ET TANOF.MTKS. 8l

SœuftlII. — La portion Cl (Jig. 67) du rayon OC, comprise Fie. (>;. fntre le milieu d*un arc et sa corde ^ se nomme (n** 14) la flâghe (le cet arc ; et cette flèche suit évidemment une marche inverse de celle de la perpendiculaire 01 : elle est égaie au rayon lorsque la rorde passe par le centre, et devient mtdle quand la corde vient à se confondre avec la tangente.

Tn^OBiME V. {¥\g, 7ï.) Fie. 71

N^ 119. — De toutes les cordes menées par un même point I intérieur à un cercle, la plus grande est le diamètre AIB; et la plus petite est la perpendiculaire CD à ce diamètre,

La première partie du théorème est déjà démontrée ( n° 104).

Pour démontrer la seconde » abaissons sur une corde quelconque KIE' différente de CD , la perpendiculaire OK ;

nous aurons OK •< 01 , (n* 30) ;

donc la corde EE' est plus grande que CD (n" 109, scot.) ; donc, etc.

N*» liS. ScOLiE. — 1° — Le plus grand de tous les segments de droites menées d'un point intérieur I aux différents points dUinc circonférence, est le segment Ik qui passe par le centre; le plus petit est le prolongement IB du premier.

2** — De deux segments quelconques , lE, IF, le plus grand est relui lE qui fait le plus petit angle [aàga ou obtus] avec le segment MAXIMUM lA, oxxle plus grand angle [obtus ou aigu] avec le segment MnVIMUM IB.

En effet, i* — Soit un segment quelconque lE; et menons \e rayon OE.

En comparant d'abord lA, lE, nous avons

lA = OA 4- 01 = OE 4- 01 ; mais OE H- 01 > lE (n" 50 , i •) ; donc I A > JE. Comparant ensuite IB , lE , nous avons

IB== OB ^ 01 = OE — 01; mais OE — OI<IE (même n")i donc IB<IE.

2" — Soient deux segments quelconques lE, IF; et menons

Sa LIV. î. CHAP. II. — § I. •

OE , OF. — Lesdeux triangles lOE , 10F, ont le côté 01 commun, et le côté OE égal au côtéOF; mais Tangle compris lOE du premier triangle est plus grand que l*angle lOF du second triangle; donc (n'^ 64)