BEC = EA'C H- ECA

<1 où EA'C ou BA'C = BEC — ECA' ;

or BEC = |BC, ECA' = |ED (n» l««);

donc BA'C= |(BC — 4ED)=: |(BC — DE).

N. B. — Comme cas particulier, on peut voir que Fie. 72. L*angle circonscrit LIM [fig» 72) a pour mesure la demi-dijftrcnce entre l'arc concave LAM et l'arc convexe LBM ;

Mais on démontre encore directement cette proposition en tirant les cordes BL, BM.

N** 126. — ScoLiE sur les angles excentriques en général. — Les différentes mesures qui viennent d*étre établies pour toutes les espèces d'angles dont le sommet n'est pas au centre , doivent être considérées comme des mesures tout à fait secondaires; car

La mesure naturelle d'un angle est l'arc de cercle compris entre SCS côtés et décrit de son sommet comme centre, — [on plutôt ( n" 118) 1r rapport de cet arc nu qundrnnt\ I

POLTCONZS INSCRITS, ClC. 1)3

Les autres mesures ont uniquement pour objet île faire reconnaître, dans les figures circulaires, les relations de grandeur qui paivent exister entre certains angles.

Cest ainsi, par exemple, qu'on peut affirmer, à l'inspection de \k figure 77, que des trois angles BAC , BEC , BA'C , le plus grand Fie. 77. est BAC , le moyen est BEC , et te pkis petit est BA'C , puisque Ton a fn»» 180 et mis)

BAC = -^ (BC -h B'C), BEC = ^BC, BA'C= i(BC— DE).

Actuellement, si l'on considère l'angle inscrit ACB {fig, 78), et F»**' 78pron retranche de la circonférence entière Tare ANB compris entre les côtés de cet angle, l'arc restant ACC'C'B, ou le segment ie cercle correspondant, sera" Varc ou le segment auquel l'angle ^CB rst dit inscrit.

Cela posé, il résulte évidemment du théorème m (n® ISS) et In corollaire II (n® i9A) que

Toas les angles inscrits, ACB, AC B, . . , à m/i même segment , ainsi [ue l'angle ÀSL formé par la corde AB de ce segment et la tangente menée à l'une des extrémités de la corde ^ sont égaux entre '&r .- — car ils ont même mesure.

xV. B. — Le segment de cercle ACC'C'B est dit un skgmcnt c.k- »ABLE de Tangle ACB.

Tous les angles inscrits à une demi ^circonférence [ou à un demierele^y sont droits, — ainsi que nî>us Tavons déjà démontré au numéro 1S3.

^ III. — Propriétés des polygones inscrits et cir^ conscrits à des circonférences de cercle, — (Voyez le n'' 105.)

Théorxmr I. ( Fig. 60 et (> 1 .) Fie. 60 cl 61 .

N** €47. — Tout triangle CXh est à la fois inscriptiblr et c/>- 3n.icr7j?tiblc,

I.a i>«KMiÈaE PAATix de cette proposition peut encore s*énoncer insi :

g4 l'^v. I. — cttAp. II. — § m.

Par trois points A, B, C, non en ligne droite , il est toajom possible de faire passer une circonférence.

Or, c^est une conséquence nécessaire du théorème étabti aa ;i«-

Fic. 6i. niéro 96; car le point O {fig» 6i) étant, par sa position , également

distant des trois points A , B, C , il s'ensuit que la circonférence

décrite de ce point comme centre avec le rayon OA , passerait

également par les deux autres points B , G.

Il est évident d'ailleurs que, par les trois mêmes points A, B, C, on ne peut faire passer qu'une seule circonférence , puisque le centre ne saurait être que le point O.

iV. B. — Si les trois points A , B , C étaient en ligne droite, \^. perpendiculaires élevées par les milieux de AB , BC , AC , seraieoi parallèles (n*" 58) ; et , dans ce cas , il n'y aurait plus de centre ou (n** M) le centre serait situé à V infini.

Quant à la oeuxième partie de la proposition , elle se déduit Fie. 60. également du théorème établi au numéro W ; car le point O [f^. ^\ étant à égale distance des droites AB ,. AG , BC , il en résulte qiM le cercle décrit du point O comme centre, avec un rayon égal à Ij perpendiculaire abaissée de ce point sur AB , passera nécessaire ment par les pieds des perpendiculaires abaissées du même poio sur les deux autres côtés. En outre, ce cercle sera (n° 108} tan^cA intérieurement aux trois côtés du triangle ; et l'on aura ainsi u| cercle inscrit à ce triangle.

FiG. 60. ScoLiK I. — Si l'on considère Tespace indéfini LGBI {fig- 601 d( terminé par le côté GB du triangle elles prolongements CL, CI , (h deux autres , et qu'on mène les bissectrices des angles LGB , IBC le point O' où elles se rencontrent est également distant des tro droites GB , CL , BI ; ce qid donne un nouveau cercle langent an trois côtés, cercle que l'on appelle ex-inscrii pour exprimer qu il e placé hors du triangle. — Le point O' se trouve en même tem] placé sur la bissectrice AA' de Tangle A. — ( f^ojrez n® OU, scoL) Nous aurons occasion de revenir sur ces propositions dans chapitre des problèmes.

N® 188. — SooLiK n. — Le thiwème du n° 94 nous apprend <*i Fir.. 59. c^orc f|ue, si le triangle ABC (fig, 5ç)) est rectangle en C, le cent

POT.TCO?fIS INSCRITS, CtC. 95

du cercle circonscrit se trouve placé au milieu de Thypoténuse AB f puisqu'alors les trois distances DA , DB, DC , sont égales.

Si le triangle est isoscéle , le centre du cercle circonscrit , comme celui du cercle inscrit , se trouve placé sur la bissectrice de l'angle opposé à la base (n° Gi).

Enfin , lorsque le triangle est équilatéral , les centres des deux cercles se confondent; ce que Ton exprime en disant que les deux cirton/érrnces sont concentriques.

TheoeemeII. (Fig. 79.) Fie. 79.

N® 129. — Dans tout quadrilatère insent ABCD, la somme da angles opposés y pris deux à deux, est égale à 2 d&oits.

£n effet y les deux angles en B et en D, par exemple, ont (n° I2S) pour mesure , Tun \ ADG , Tautre 7 ABC ; donc leur somme a pour mesure la moitié de la circonférence totale ADGB , ou une demicirconférence. — Donc , etc.

RÉciPROQnBMRNT. — Un quadrilatère ABCD est inscriptihle lorS' ^ueles angles opposés y forment , deux à deux, une somme égale

à 2 DROITS.

En effet, si le cercle mené par les trois points A, B, C, cercle qu'il est toujours possible de construire (n° 127), ne passait pas par le (piatrième point D , ce point serait intérieur ou extérieur au cercle.

Supposons-le d'abord intérieur, et prolongeons AD [ou CD] jasqu à sa rencontre en D' avec la circonférence ; nous aurons , <i'aprés la proposition directe ,

ABC-+-AD'C = 2 droits;

mais, par hypothèse , ABC 4- ADC = 2 droits;

donc AD'CnrADC,

ce qui est absurde (n** 5tf, N. B.).

Même raisonnement si le point D était extérieur. Donc le quadrilatère est inscriptible.

ScouB. — Ce théorème fournissant une propriété caractéristique en qnadrilalère inscriptible , nous apprend que le rectangle et le

t)6 I.IV. I. CHAP. II. § III.

carré sont , parmi les paraUétogrammes, les seuls quadrîlatèrfs qui la possèdent; car il n*y a que ces figures pour lesquelles les angles opposés puissent être à la fois égaux et supplémentaires. — Les diagonales du i*ectangle ou du carré sont alors des diamètres du cercle circonscrit. — ( Voyez le scolie du n** 128.)

F'c- 80. THioBÈMmin. (/7^. 80.)

N° 150. — Dans tout quadrilatère circonscrit ABCD, ia sommt de deux côtés opposés [AB -|- DCJ est égaie à la somme des deux autres [AD -h BC].

On a, en effet (n<> 105),