AE = AK, EB = BF, CG = CF, GD = DK

d*où , en ajoutant ces quatre égalités membre à membre , AE -h EB -h CG -h GD = AK -h BF -h CF -h DK,

ou AB -+- CD = AD -h BC;

RiciPROQUEMKiTTy — Si la somme de thux côtés opposés, AB-I-DC , est égale à la somme des deux autres , AD -f- BC, le quadrilaUrc est circonscriptible.

On peut toujours (n° 127, scolie l) décrire un cercle tangent aiii trois côtés AB , BC , CD ; et il reste à prouver qu'il est nccessairp-' ment tangent au quatrième AD. Or, admettons pour un instasl que cela ne soit pas : le côté AD sera alors , ou une sécante au cercle , ou une droite extérieure à ce cercle ; et , dans les deux cas , on pourra mener parallèlement à AD (n° 110) , une tangente A^D* ou A^'D", différente de AD.

Soit, par exemple, A'D' cette droite; on a, par hypothèse,

AB -f- CD = AD -h BC; mais , en vertu de la proposition directe , on a aussi

A'B -h CD'= A'D' H- BC;

POLTGOMss nicuLiK&Sy etc. 99

d'où Ton déduit 9 en retranohaDt, membre à membre , la première égalité de la seconde ,

A'A -h DD' = A'iy — AD , et, par conséquent,

A'iy = A'A -H DD' H- AD,

résultai absurde (n*^ «S).

Même conclusion en considérant la tangente A"D''. Donc la réciproque est vraie,

Sgolis. — Le losange et le carré sont les seuls parallélogrammes àrcomcriptibles y puisqu*il n^y a que ces deux variétés du parallélogramme pour lesquelles la somme de deux côtés opposés puisse être égale à la somme des deux autres.

Dans le carré, le cercle circonscrit et le cercle inscrit sont nécessairement concentriques.

Des polygones réguliers.

N" 151. — On nomme ainsi tout pofygone qui est à la fois équilatéral et équiangle, — La possibilité de polygones de cette sorte ne saurait être révoquée en doute : car, si l'on conçoit qu'après avoir divisé une circonférence de cercle en un certain nombre de parties égales, en 6 par exemple, on ait joint par des droites consécutives les points de division A , B , C , D , £ , F {fig. 8i), toutes pi^, 31 , les cordes de jonction seront égales (n® 108), et les angles seront égaux, comme inscrits à des segments égaux (n" 196); donc le polygone ABCDEF sera régulier.

Le triangle équilatéral et le carre sont des polygones réguliers.

THiOEÀMElV. {Fig, 8l.) FiG. 81.

Tout polygone régulier est à la fois inscHptible et circonscrip* iiblc.

Soit ABCDEF un polygone régulier quelconque ; et par trois sommets consécutifs A , B , G, faisons passer (n? 127) une circonierence de cercle : je dis qu'elle passera également par les autres sommets.

û8 UV. I. — CHAP. II. — § III.

En effet, joignons le point O, centre du cercle, aux points A , B, Cy D ; nous formerons ainsi trois triangles OAB, OBC, OCD.

Gela posé , comparant les deux triangles OAfi , OBC , on voit que OB est commun , AB = BC par hypothèse , et OA = OB ; donc ces deux triangles sont égaux (n^ 65 , 3^ cas). De plus , ils sont isoscèles , à cause de OA = OB ; ainsi Ton a

BAO = ABO = OBC = OCB.

En second lieu , les deux triangles OBC , OCD, sont aussi égaux :

car on a OC commun, BC = CD par hypothèse, et

angle BCO:=a/i^/<? OCD, comme on vient de le voir^ donc ils sont égaux (n® 65, a* cas). D'od l'on déduit