CHAPITRES PRÉCÉDENTS

N' 146, — iHTaoDUcnoK. — Notions générales sur les deux méthodes de résolution des problèmes, TAhaltse et la Stnthàsb.

'SovA avons déjà dit (n^ 17, 6^) en définissant les problèmes, qn'oo en distingue de deux sortes : les problèmes graphiques ou Rlatife aux figures , et les problèmes numériques ou relatifs à l'étendae. Or, il ne peut être, pour le moment , question que des premiefs, puisque les autres supposent la connaissance des rapports numériques dont la recherche doit faire Tobjet du second livre.

En général , RisouoAx uh vkoviàm^ , c'est {même numéro) déterminer certaines choses inconnues au moyen d'une on de pluâeurs antres choses connues ou données, qui ont avec les premières ét& relations indiquées par Yénoncé, — Le résultat auquel on parvient, s'appelle la Solution du problème.

Quand il s'agit de problèmes graphiques, on a pour objet de frvrrr [ à Taide de la règle et du compas] une figure qui remplisse «naines conditions indiquées par l'énoncé de la question ; et c'est <v qu'on appelle y!7/rp la construction du problème.

Pour arriver k ce but, on peut employer deux méthodes, I'Abaltsb ou la Sthtbàsz.

Lorsqu'on veut procéder par la méthode analytique , on com- BKDce par supposer le problème résolu ; c'est-à^re que l'on dé*frit d*abord sans instrument , et tant bien que mal , une figure à hqoelle on suppose les propriétés exigées par l'énoncé. Ensuite , pu" d'autres opérations préparatoires, et à l'aide des relations qui S^t entre elles les données aux inconnues, on tâche de découvrir qoelque construction qui , si on l'exécutait réellement, avec la règle ^ 1<? roropas , en prenant pour bases les données de la question ,

io8 uv. I. — cHAp. m.

conduirait à la solution demandée; ou bien on ramène la question proposée à d'autres questions plus ou moins simples , que Von sait déjà résoudre. — C'est cette suite^ de déductions qui constitue ce que Ton nomme i'anatjrse du problème. '

La méthode synthétique est l'inverse de la précédente: elk consiste à prescrire tout d^abord les opérations à exécuter, sauf à prouver ensuite que le résultat de cette construction satisfait aux conditions du problème.

Chacune de ces deux méthodes présente des caraclères qui lui sont propres. — La première est , à proprement parler, là méthode d'inifention; et son emploi est indispensable pour conduire à U connaissance de la construction.. — La seconde est , au contraire, la mtihode de démonstration; et son emploi suppose que Vanalyu a déjà Élit connaître la construction , dont toutefois elle démontre plus directement TefEcacité. — Aussi , la première méthode est-ellt plus longue à exposer, par la raison que, après avoir analysé uo problème, on ne peut, le plus souvent, se dispenser d'avoir recours à la synthèse pour démontrer complètement que les conditions du problème sont bien remplies.

La nécessité d'une rédaction concise nous obligera souvent , dans ce qui va suivre, à supprimer V analyse du problème, ou, do moins , à l'indiquer d'une manière très-succincte , surtout en ce qui concerne les problèmes les plus élémentaires ; — comme il nous arrivera aussi, pour abréger la synthèse, de ne donner que U construction , sans démonstration , quand l'analyse nous paraîtri suffisante pour y suppléer.

Au reste , l'emploi de ces deux méthodes ne se borne pas à la résolution des problèmes. Toutes deux peuvent être appliquées aux théorèmes, V analyse pour les découvrir, et la synthèse pour les démontrer. Toute la différence consiste en ce que l'énoncé de la proposition stût ou précède la démonstration, suivant que Von fait usage de V analyse ou de la synthèse. Les corollaires et la seolies des chapitres précédents offrent de nombreux exemples àt chacun desTdeux cas.

En résumé, Vanalyse sert à trouver les vérités inconnues, et k synthèse à prouver les vérités connues.

AKALTSB KT STKTHKSK. IO9

N<> 147. ^ Pour compléter la résoludoo d*un problème, il faut encore 9 dans beaucoup de cas, que l'analyse ou la syn«thèse soit accompagnée d'une discussion. — On nomme ainsi Feiamen détaillé des circonstances variables de la question, et des conséquences particulières qu'elles entraînent, examen d'oÀ il résulte que, suivant les cas, le problème est déterminé , OQ indéterminé y ou bien impossible : c'eSt-à-dire qu'il a un nombre limité de solutions, ou un nombre illimité, ou bien qu*il n'en a aucune,

Noos observerons, à ce sujet, qu'il y a une distinction bien essentielle à faire entre le nombre des solutions dont un problème est susceptible , et le nombre des moyens à employer pour arriver à ces solutions, nombre qui peut lui-même varier beaucoup suivant la nature de la question.

Relativement à ces moyens , la construction est dite plus ou moins simple, suivant que le nombre de lignes à tracer est moins 9uplus considérable ; elle est dite plus ou moins élégante, suivant {ne Ton a tiré un parti plus ou moins avantageux des lignes ioonées ou déjà décrites. — Une construction élégante et simple i la fois est toujours une preuve de sagacité et de jugement de la part de celui qui la découvre.

~ Ce chapitre se composera de trois paragraphes. Le premier ndterades perpendiculaires, des angles, et des parallèles ; lèseond, de la construction eies poljrgones d*A^rès certaines donuées; t le troisième, du contact mutuel des droites et des cercles, ou des tTçles entre eux*

Remarque importante. — Dans toute opération graphique exéutée sur le papier, on suppose ordinairement , parce que cela est 4qs commode , qu'une des lignes du problème [considérée comme ^>se delà construction] soit parallèle au bord inférieur de la feuille k dessin, ou, en d'autres termes, soit dans une position horizon^ 9le — Dès lors, les deux régions du plan (n° ti ), déterminées AT ladnHte, peuvent se nommer, Tune la région supérieure, ^txe la région inférieure ; et l'on dit qu'un point est ou doit être iloe au-dessus ou au-dessous de la droite , suivant qu'il se trouve

no Liv. I. — CHAP. m. — I.

ou doit se trouver dans la région supérieure ou dans la régioo inférieure.

Ces locutions 9 bien que peu conformes au langage ordinaire de la géométrie y ont néanmoins l'avantage d'abréger quelquefois le discours.

§1. — Des perpendiculaiies, des angles^ et des

parallèles,

Fio. 89. PaoBLiMB I. ( Fi g. 8g.)

N° 148. — En un point donné A d'une droite indéfinie DI, élever une perpendiculaire à cette droite.

Analyse. — Un point de cette perpendiculaire étant déjà conno, il suffît (n** tt) d*en déterminer un second; et on i^obtiendiait si, après avoir marqué sur LM deux points, B, C, également distants du point A , on pouvait avoir, au-dessus de LM , un autre point qui fût également éloigné des mêmes points B et C. 1

Synthèse. — i® — Prenons avec le compas deux distances égala AB, AC ; — 2° — Des points B , C , comme centres , avec le ménM rayon arbitraire [plus grand , toutefois, que AB], décrivons deui circonférences; — 3** — Joignons le point D, où elles se coupent, avec le point A :

Nous aurons ainsi la perpendiculaire demandée.

En effet , d'après cette construction , les deux circonférences dé crites sont telles, que la distance BC des centres est moindre que 1| somme des rayons [puisque chacun d'eux surpasse la moitié de cett distance], et est en même temps /^/uj grande que leur diflerenc [qui est nulle]; donc (n° 145) les circonférences se coupent e| un certain point D; et si on le joint au point A, la droite d jonction DA est nécessairement perpendiculaire à BG ou li (n«4|,ico//6'II). I

ScoLiE I. — Les deux circonférences se coupent en un secoi^ point D', placé au-dessous de LM, et dont on se sert comi^

PEEPXlffDICULAI&ESy ANOLES, ET PARALLELES. 111

moyen de Térificadony les trois points D, A, ly, devant être en ligRc droite.]

Dans la pratique, on doit se borner à tracer les arcs £F et GK , E'F et G^K% qui avoisinent les point» d'intersection des deux circonférences.

ScoLiK n. — Comme la construction précédente est toujours exécutable , il s'ensuit que ,

Par un point donné sur une droite , on peut toujours élever une perpendiculaire ;

U est d'ailleurs prouvé (n° S 7) que

XOn ne peut en élever qu'une.

PaoBLiME n. ( Fig. go.) Fie. 99.

N® 149. — D'un point A pris hors d'une droite LM , abaisser une perpendiculaire sur cette droite.

L'anal^rse de ce problème est à peu près semblable à celle du précédent. H suffirait d'avoir un second point de la perpendiculaire, et y pour cela, d'obtenir sur LM deux points également distants du pied de cette perpendiculaire.

Ststsésb. — 1** — Du point A comme centre, avec un rayon suffisamment grand , décrivons un arc de cercle qui coupe LM aux points By C ; — a** — des points B et C comme centres, avec un nouveau rayon [ plus grand toutefois que la moitié de BC], décrivons deux noaveUes circonférences [ou plutôt, des arcs £F et GK, ET' et G'K'], qui se coupent aux points D, D'; — 3<» — rrronsADJyi

5ous aurons la perpendiculaire demandée.

D'abord, les deux dernières circonférences décrites se coupent oêcessairement, puisque, d'après la construction, la distance de leurs centres, B et C, est moindre que la somme des rayons et jtlsu ptMnde que leur différence ; de plus , les trois points A, D, D% appartiennent, par leur position, à la perpendiculaire élevée par le milieu de BC ; donc , etc.

FiG. 91.

lia Liv. I. — CHAP. m. — § I.

SoouK. — La construction précédente étant fonjonn il 8*ensuit que ,

D'un point pris hors d'une étroite, on peut ionjovs une perpendiculaire sur cette droite;

n est d'ailleurs établi (n<» 97) , que

XOn ne peut en mener qu'une,

PaoBLàn m. {Fig. gi .)

N" 150. — Diviser en deux parties égales une droiu A^j terminée de longueur; — ou , en d'autres termes , — 7r milieu d'une droite.

Analyse. — Il suffit , pour avoir la perpendiculaire qai la droite AB en deux parties égales, d'obtenir bors de cette deux points qui soient également distants de A et de B.

STiiTHisx. — I** — Décrivons des points A, B, comme avec le même rayon arbitraire [ plus grand toutefois que U de AB]y deux circonférences [ou deux arcs de cercle], coupent en deux points C, C ; 2" — tirons CC :

Le point 0 où la droite GC' rencontre AB , est le milieu de droite.

Même démonstration que dans les problèmes précédents.

N. B. — Il convient, pour plus d'exactitude dans la nation du point O, de déterminer de la même manière deux aol points D, D', de la droite CG^

N® itti. — GoaoLLAixK. — De là résulte évidemment le vaa i" — de — Décrire f sur une droite donnée comme eUaiftei

une demi-circonférence, ou une circonférence entière :

Car la question se réduit évidemment à trouver le milieu cle<:

droite;

2** — de — Faire passer un cercle par trois points donnés : Après avoir Joint ces points deux à deux par des droites y

se réduit (n° 127) à élever des perpendiculaires à ces droites

leurs milieux respectifs. — Le point de concours de ces perj

PB&PCNDICULAIRES , ANCLKS ET PARALLÈLES. Il3

dkalores est le centre du cercle; on a d'ailleurs le rayon , en joignant le centre à l'un des trois points donnés.

3" de — Troiwer le centre d'un cercle, ou d'un arc de cercle déjà décrit, — quand on a perdu la trace de ce centre :

Prenez au hasard trois points sur cet arc , et opérez comme il vient d*étre dit;

4^ enfin , de — Diviser un arc de cercle en deux parties égales :

Tirez la corde de cet arc, et abaissez du centre (n^ 149) une perpendiculaire sur cette corde ; — ou bien , élevez (n** ItfO) une perpendiculaire sur le milieu de cette corde; — elle passera nécessairement (n^ 127) par le milieu de l'arc.

N. B. — La seconde construction est la seule possible quand on ne connaît pas le centre de l'arc.

Problème IV. ( Fi g, 92.) F,^ ^

N* IM. — Mener une perpendiculaire à une droite que l'on ne peut prolonger que dans un sens, — soit i® — par un point A pris sur la droite, — Soit a** — par un point D Situé hors de la droite.

Les moyens exposés pour résoudre les deux premiers problèmes, supposent évidemment que l'on peut prendre sur la droite donnée, deux points également distants d'un point quelconque de cette droite. Or, cette condition n'est pas toujours possible à remplir , conmie , par exemple , quand le point A ou le point D se trouve placé très-près de l'un des bords d'une feuille de dessin.

PmKMim CAS. — Soit le point A donné sur la droite AX qu'on ne peut prolonger à gauche de A.

AsAXTSX. — On obtiendrait (n® M) un triangle DAK, rectangle en A, si Ton pouvait déterminer une droite DE telle , cfu'en joijlj'nant son point milieu O au point A , on eût