LIV. I. CHAP. II. § IV

F.C. 84 et 88. Thïoebmb m. (Fig. H et 88.)

N° 140. — Quand deux circonférences, OA, CyA', «'ovr asciw ^of'/if commun, la distance des centres, (M y est plus grande que la somme des rayons ou plus petite que leur différence, suivant qu'dies sont extérieures ou intérieures l'une à l'antre. Fia. 84. Car on a, dans le premier cas {fig, 84) >

OCy = OB -h BA' -4- A'cy,

d'où OCy > OA -h (y A';

Fie 88. et dans le secoQd {fig. 88) ,

0(y = OA — CA' — AA',

d'où 0(y < OA — (VA'.

Nommons, pour abréger, D la distance des centres, R et R' les deux rayons [R étant le plus grand rayon] ; — ces deux relations deviennent , pour le cas des cercles extérieurs,

et pour les cercles intérieurs,

Fi€.85ci87. THÉOBiMK IV. (Pig. 85 et 87.)

N° 141. — Lorsque deux circonférences sont tangentes extérieurement ou intérieurement (n® 159, 2® et 4®)» '« distance des centres est égale à la somme ou à la différence des rayons [suivant que le contact est extérieur ou intérieur^.

On sait déjà (n® 138) que le point de contact est sur la ligne Fie 85. des centres. — Gela posé, on a, dans le premier cas [fig» 85),

00' =r OB H- O'B, ou D = R -h R%

Fie. 87. et dans le second {fig- 87),

OO' = OB — O'B, ou D = R — R'.

CBBCLBS siCANTS, TANOKNTS, etC. Io5

THioEiMs V. {JFig, 86.) j.,^,^ 86.

N^ 149. — Lorsque deux dreonfirences sont sécantes (n* 159, 3*}, la distance des centres est moindre que la somme des rayons et plus grande que leur différence.

Le point M, commun aux deux drconférenoes, étant nécessairement placé hors de la ligne des centres OCy (n^ i37), il s'eDSuit que les trois points O, (y. M, forment un triangle qui doone (n"* 88)

0(y < OM -h O'M, et 00' > OM — O'M, ou D < R -h R', et D > R — R';

ce qa'O fallait démontrer.

N^ 145. ScouK I. — Les réciproques des propositions préoéilentes, au nombre de cinq, suivant les positions relatives des cerdes, wùivraies et se démontreraient par la réduction à l'absurde, conformément au principe établi au n® 91 .

Ainsi I quand deux circonférences sont placées sur un même pUn,

i^-'Si Ton a D > R -h R',

^' deux cercles sont extérieurs l'un à l'autre ;

^-^si D = R -h R',

b deux cercles sont tangents extérieurement ;

y— si D < R -h R', et > R — R',

Ut deux cercles sont sécants ;

^ plus petit cercle est tangent intérieurement au plus grand;

5«~ettfin«i D < R — R',

^ plus petit cercle est intérieur au plus grand.

nous bornerons à démontrer la dernière de ces récipro- T)<^, comme étant celk dont on fait le plus souvent usage.

106 UV. 1. — CUAP. 11. — $ IT.

Ainsi f soit en même temps

D < R -+- R% et D > R — R',

nous disons que les deux circonférences se coupent nécessairement. Car, si elles ne se coupaient pas , ou elles seraient tangentes, ou bien elles n'auraient aucun point commun.

Dans le premier cas, on aurait, en vertu du théorème IV,

D = R -h R', ou D =; R — R',

résultats contradictoires avec les relations supposées. Dans le second cas, on aurait ^théorème TU)

D > R 4- R', ou D < R — R',

résultats contradictoires avec les hypothèses.

On ferait des raisonnements analogues pour les autres réciproques.

H^ 144. ScoLiB II. --«- Le théorème V et sa réciproque peuvent être renfermés dans un énoncé beaucoup plus concis :

Pour que deux cercles se coupent^ XL F4Ut bt vl SurviT que le plus grand des trois éléments qui déterminent leur position relative [ la distance des centres et les deux rayons] , soit moindre que la somme des deux autres. C'est , en effet, la condition caractéristique de l'existence d'un triangle avec ces trois élémeot».

N** 14 tf. — ScoLiE m. — On a supposé, dans tout ce qui pié-, cède, que les rayons des deux cercles étaient inégaux ^ mais si Ton avait R = R', les diverses propositions n'en subsisteraient pas moins.

Par exemple, si l'on a en même temps

R = R', et D = o,

ce qui suppose les deux circonférences concentriques, l'une des r^ lations précédentes , D = R — R', se réduit à o = o. Un pareil r^ sultat, dans l'analyse algébrique, est en général le symbole de Yindétermination; et, en effet, dans le cas que nous examinons, le deux circonfiérences, étant concentriques et ayant des* nyou égaux, $€ touchent en tout leurs poinu communs.