COURS

INTRODUCTION

Notions GÉN^RALts sus. ul ughb dm>ite, lk plan, kt ta

ciBCONr^HKircB ta, cbbcle.

N^ t. — Tout corps occupe, dans L*£SPAG£ in^fini qui embrasse TuniTers matériel » un Libu déterminé ou fini^ que Ton appelle proprement Un Espacb.

Cet espace fini, rempli par le corps , a des limites ou bornes qui le dUstinguent du reste de l'espace ;^ elles constituent ce que Ton nomme la Surface du corps. La surface étant ainsi le lieu où se fait la séparation entre un corps et le reste de Tespace, appartient également à Pun et à l'autre ; de plus, comme il peut exister, dans l'espace indéfini , une infinité de corps ayant chacun leurs limites propres , il en résulte que

Dans l'espace, on peut concepoir une inanité de surfaces.

Lorsqu'une surface est rencontrée ou coupée par une autre surface , le lieu de leur intersection mutuelle se nomme une Lignb ; cette ligne appartient à la ibis aux deux surfaces. D'ailleurs , une ligne provenant , en général , de rintersection de deux surfaces, et une même surface pouvant être rencontrée par une infinité

2 INTRODUCTION

d'autres endèrement distinctes, il s'ensuit que

Sur une surface quelconque, on peut concevoir une infinUé de lignes.

Enfin , lorsque deux lignes viennent à se rencontrer, le lieu de leur intersection se nomme un Poiht. Ce point est commun aux deux lignes; et comme un point résulte de la rencontre de deux lignes , qu'une même ligne peut être coupée , par une infinité d*autres , en autant de lieux difTérents ^ on doit conclure qur

Toute ligne peut être regardée comme ayant une infinité de points (*).

N** S. — - Quoique l'on acquière la notion du point par la considération des lignes , la notion de la ligne par la considération des surfaces, et celle de la surCice par la considération des corps y c'est-à-dire de choses toutes matérielles, on n*en doit pas conclure pour cela que les points , les lignes , et les surfaces , soient euxmêmes des objets matériels : en vertu d'une £aculté inhérente à notre intelligence , nous parvenons facilement à nous représenter le point sans les lignes qui le déterminent , la ligne en dehors des surfaces dont elle est Tintersection, la surface indépendamment du corps ou de l'espace auquel elle sert de limite, enfin l'espace luimême comme étant absolument immatériel; et c'est le résultat di> ces différentes abstractions que nous nommons point, ligne, surface, ou espace. C'est encore ainsi que nous disons : les points d'unv ligne, d'une surface, d'un espace, les lignes d'une surface , etc,

N^ 5. — L'espace , la surface, et la ligne, peuvent être envisages sous deux points de vue distincts : ou sous le rapport de leurs diverses/orm^^ que Ton nomme généralement des Figures, ou sons le rapport de leurs grandeurs relatives que l'on comprend sous la dénomination d'ÉTSNDUE.

(*) Quelques auteurs, BuUant une marche diamétralemenl opposée à celle que nous adoptons ici, partonl de Tidée primitive du point, qu^ils définisscni par une négation: Le point est ce ^ui n'a pas départie (Euclide, Iît. 1« défin. i'^}; et alors ils considèrent la ligne comme étant engendrée par le mouvement du point , la surface comme engendrée par le mouvement de la ligne, et Tespace par le mouvement de la surface.

nmiODucTioff. 3

L'étendue prend le nom particulier de Volume, d'Aïas , ou de LonouvnLy suivant que cette étendue est la grandeur relative d'un espace g d^une surface, ou d*une ligne. Ainsi, la longueur d'une ligne , ou Vétendue linéaire, n*est autre chose que la grandeur de cette ligne épaluée ou mesurée en unités de ligne. De même, Vaire d^une surface , ou Vétendue superficielle, est la grandeur de cette surface évaluée ou mesurée en unités de surface ; enfin le volume ou Vétendue d'un espace [ou d'un corps], est la grandeur de cet espace , évaluée ou mesurée en unités d'espace (*}.

Quant aux figures, elles portent des noms divers que nous ferons connaître par la suite.

La GÉOMÉTRIE est la science qui s'occupe de ces deux principaux objets : les propriétés des différentes sortes àe figures, et la mesure de Vétendue considérée sous les différents aspects que nous venons d'indiquer.

N^ 4. — Ze point n'a ni figure ni étendue; — et c'est là surtout ce qui le distingue des autres objets de la Géométrie, qui sont tous deseriptibles et mesurables.

Néanmoins, comme on a souvent besoin de considérer un ou plusieurs points isolés, on convient de désigner chacun d'eux par une légère marque faite avec un crayon , une plume , ou tout autre instrument taillé en pointe et propre à laisser une empreinte sur une surlaoe donnée. Mais cette marque n'affecte aucune forme déterminée ; et son étendue doit toujours être considérée comme rigoureusement nulle.

D'ailleurs, pour distinguer les uns des autres les différents points de l'espace , on place , à côté de la marque qui représente chacun d'eux, une lettre qui sert à l'énoncer dans le discours : c'est ainsi que l'on dit : le point A, le point B, le point G, . . . {fig. i ). Fie. i .

{*) Dans U plupart dei Traités de Géométrie, pour distinguer les trois sortes d'étendue, ou emploie les déDominations d^étendue à une ditaention [la longueur], d'^étendue à deux dimtnsions [la longueur et la largeur], ou d^étendne à trois dimensions [longueur, largeur, «t hauteur nommée aussi épaisseur ou ffrofondeur}; mais nous aTons eru devoir omettre ici ces dénominations, à cause de riropossihilitéj d''en rendre raison, pour le moment, d'une manière rigoureuse.

INTRODUCTION

De la ligne droite,

N<» tf. — De toutes les ligaes dont traite la Géométrie , la plus simple est la Ligne Droite.

Quoique l'idée de la ligoe droite soit une des premières auxquelles npus conduisent notre expérience et Tusage de nos sens, il n^en est pas moins difficile de la bien définir. Presque tous les auteurs se bornent à dire, d'après Archimède, que — La ligne droite est le plus court chemin d'un point à un autre; — et pour entendre cette définition, il faut concevoir qu'un point isolé (n^ 4} et matérialisé par la pensée, se meuve vers un autre point, en suivant, pour franchir l'intervalle qui les sépare, le plus court de tous les chemins, en nombre infini , qui peuvent mener de la position primitive du premier point à celle du second. C'est là route ainsi parcourue par le point supposé mobile, que l'on nomme ime Ligne Droite, ou simplement une Droite.

Mais la définition deviendra plus générale si nous disons qu'une Fio. a. droite est une ligne indéfinie MNOP... {J^g^ 2), que nous nous re^ présentons comme jouissant [exclusivement à toute autre ligne] de la propriété d'être le plus court chemin entre deux quelconques de ses points, M et N, Net O, O et F,..., Met O, M et P, NeiP,..., pris partout où l'on voudra sur son étendue illimitée.

Toute ligne droite MN doit être , par la pensée , prolongée indéfiniment dans les deux sens MNO...., NML...., à moins qu'en vertu de circonstances particulières, elle ne se trouve limitée, soil dans les deux sens , soit dans un seul.

Lorsqu'une droite sera terminée en deux points, M et N, nous dirons qu'elle est déterminée de longueur ; et quant aux portions de droite E^O.... , IML.... , limitées dans un sens, en un point I, et illimitées dans l'autre, nous les nommerons des segments de droite.

La trace indéfinie , soit figurée , soit idéale , d'une ligne droite, se nomme aussi sa direction ; et Ton doit admettre que la direction est unique pour chaque droite en particulier, cç qui veut dire qu'une portion de droite MN ne peut avoir qu'un seul prolonge^ ment indéfini dans les deux sens MNOP.... , NML....

INTILODUCTION. 5

N* 6. — * Toutes les lignes droites sont y par leur nature même, su^ perposables; — et pour que la superposition ait lieu parfaitement , il suffit que deux de leurs points coïncident. Cette propriété , qui c^aractérise essentiellement la ligne droite, doit être considérée comme évidente , et par conséquent admise à priori.

D'où il suit que — Deux droites coïncident dans toute leur étendue indéfinie lorsqu'elles ont été amenées à passer par deux points communs.

En d'autres termes, — Deux points déterminent la position d'une droite, — c'est-à-dire qn* On peut toujours /aire passer une droite par ces deux points [ d'après la définition ] ; — et l'on ne peut en faire passer qu'une seule.

Voilà pourquoi il est d'usage de désigner une droite par deux lettres i M et N {fig* 2 ), qui désignent deux de ses points.

Il résulte encore de là que — Deux droites distinctes ne peuvent avoir qu'un seul point commun, — On dit alors qu'elles sont co/icourantesy ou qu'elles concourent en un même point.

Enfin, si sur une droite MN , déterminée de longueur (n** tf) , on marque un point I , tel qu'en faisant tourner la portion IN autour de ce point , on puisse amener le point N à tomber au point M , les deux parties IN , IM , ainsi superposables, sont dites égales entre elles; et le point I se nomme le milieu de la droite MN.

Du plan.

N** 7. — La plus simple de toutes les surfaces est la Su&fagb Plane, ou simplement le Piav : or, cette expression désigne une surface indéfinie sur laquelle on conçoit que , par chacun de ses points , une ligne droite peut être appliquée exactement dans toutes les directions (^). Ce qui nous fournit un moyen fort simple pour reconnaître si une surface est plane.

(*) Une glace bien polie, une feuille de papier bien tendue, peoTent noua donner une idée de surfaces sensiblement planes.

6 IKTKODUCTloar*

Il résulte nécessairement de la définition du plan et de la nature de la ligne droite, que

Toute droite qui a deux de tes pdnU dans un plan , y est oon^ tenue tout entière:

Car ces deux points déterminent une des directions dans lesquelles la droite peut être placée sur la surface.

Ainsi — Une droite ne saurait être en partie sur un plan et en partie au dehors.

Toutefois, on conçoit qu'elle peut n'avoir qu'on seul peint commun avec le plan; auquel cas, on dit que la droite rencontre ou perce le plan, et que le plan coupe la droite. Il est visible qu'alors les deux segments (n® 5) de la droite sont situés respectivement de part et d'autre du plan.

N® 8. — De même qu'une droite est déterminée de position par deux points (n** 6) , de même

JLa position d'un plan se trouve déterminée par trois points y pourvu que ces trois points ne soient pas situés sur une même ligne droite; ce qui veut dire,

lO «— que \J on peut toujours faire passer un plan par trois points non situés en ligne dmite; — e^ a* — que l'on ne peut en faire passer qu'un seul.

Ainsi — Deux plans qui ont trois points communs non en ligne droite, coïncident dans toute leur étendue indéfinie.

Cette propriété du plan joue, par rapport à la surface plane, le même rôle que la propriété du n® 6 par rapport à la ligne droite. On doit, par conséquent, Tad mettre également comme évidente (*).

D'où il suit nécessairement que

L^ intersection commune de deux plans est une ligne droite

ISi^ 9. — Enfin , les plans , comme les lignes droites , sont toujours superposât les ; il suffit d'amener trois points de Tun^ situés non en ligne droite, à coïncider avec trois points ^l'un autre plan, chacun à chacun. <%

(*) Nous reviendrons , au rosie , sur cette propCMitton dans 1o 3* lÎTre, au chapitre des plans.

INTRODUCTION. tj

li^ 10. — ^ Deux droites, ABy AC {J!g, 3), gui se coupent , déter- Fie. 3. minent également un plan ;

Car si Ton fiût passer un plan par leur point de rencontre A , et par deux points quelconques , B et C , pris respectivement sur chacune d'elles » ce plan contiendra les deux droites (n° 7} ; et de plus, ce sera le seul qui puisse les contenir (n*' 8). — On le nomme , pour cette raison , le plan des deux droites.

Il est bon de remarquer d'ailleurs, que, dans ce cas , le système [ou l'assemblage] des deux droitfss partage l'étendue de leur plan en quatre portions distinctes, BAC, CAD, DAE, £AB, auxquelles on donne le nom d'Anc^ES. La considération de cette sorte de grandeur, qui se présente à chaque instant dans les diverses parties de la Géométrie, est de la plus grande importance.

N® Il . — On donne le nom àe figure plane à une figure dont tous les points sont dans un même plan. — La ligne droite est essentieHeinent plane (n*^ 7); et elle partage tout plan qui la contient, en deux parties superposables que nous nommerons les deux régions (lu plan par rapport à la droite.

Des lignes et des surfaces brisées ou courbes.

lf<> 19. — On appelle Lions Baisix toute ligne, ABCDEF {fig. 4), Fie. 4. composée de droites consécutives , AB, BC , CD, DE,..., déterminées fie longueur, et ajrant, deux à deux, une extrémité commune. — Ces portions de droites, ainsi limitées aux points de rencontre B, C , D ,£,.•., se nomment les côtés de la figure.

Toute ligne brisée qui n'est pas plane (n** il) est dite une Ligic£ Gauchx.

On nomme, en général, Lions Couebb, ou simplement Cousin, toute ligne dont aucune portion appréciable n*est rigoureusement droite. — Telles sont les lignes ABC, ABCDE,... {fig. 5). Fk. 5.

Une Ligne Mixte est une ligne brisée qui se compose de lignes droites et de lignes courbes.

On nomme Sustacb Bsisis toute surface composée de portions de plans consécutffs ayant, deux à deux, une intersection commune — laquelle est nécessairement une droite , ainsi que nous l'avons vu au numéro 8.

Fie. 6.

8 IXTRODUCTIOIf.

Une SuRFACX Coumax est une surface dont aucune portion appréciable n 'est rigoureusement plane .

Enfin 9 on appelle Subfaoe Mixte \o\kle surf ace vn partie plane et en partie courbe.

Du cercle,

N^ tS. — La plus simple et la plus importante de toutes les lignes courbes est la Lions CimccLAiRB , ou la Cmcoii ribiEircE db Ceb-cls. — On nomme ainsi une ligne plane, ABCD {fig, 6) ^ fermée [ou rentrante sur elle-méine] , dont tous les points sont à égale distance d'un point intérieur O que Ton appelle le Certae de la circonférence. — Le Cercle est la portion de plan limitée par la circonférence; mats ce nom se donne quelquefois , pour abréger , à la circonférence elle-même.

Ghacone des droites OA , OB , OC , OD,..., menées du centre à la circonférence , est dite un Ravov du cercle.

Tous les rayons d'un même cercle sont égaux, d'après la définition.

On appelle Diamètre d*un cercle, toute droite, telle que AC, qm aboutit à deux points de la circonférence en passant par lecentre.

Tous les diamètres d'un même cercle sont égaux, — puisque chacun d'eux se compose delà somme de deux rayons OA , OC.

De plus, — Tout diamètre AC diçise le cercle et sa circonférence en deux parties égales.

En effet, plions la figure suivant AC, ou faisons tourner la partie AfiC autour de AC comme charnière, de façon que cette partie vienne s'appliquer sur l'autre ADC. H est évident qae les deux portions de circonférence se recouvriront entièrement ; car si Tune d'elles pouvait déborder Tautre , les points de la circonférence ne seraient pas tous également éloignés du centre, ce qui implique contradiction avec la définition du cercle. Ainsi , AC divise le cercle en deux demi-cercles , et la circonférence en deux demi^ circonférences.

Fis. 7. N» 14. — Une portion quelconque, ACB ou ADB {fig» 7), de circonférence , se nomme un Arc de cercle; l'arc prend le nora de Quadrant lorsqiiUI est le guart de la circonférence.

INTEODUGTION. 9

La pordoo de droite AB comprise entre deux points, A et B, de ]a circonférence , est dite la Coadk ou la soutendante de Tare ACB ou de l'arc ADB ; c'est-à-dire que chaque corde soutend deux arcs dont la somme vaut une circonférence entière.

Quand la corde passe par le centre , elle devient un diamètre ; et les deux arcs soutendus sont des demi-circonférences.

Soit G un point placé sur l'arc ACB , de manière que , si l'on tire le diamètre COD, et qu*on applique la demi-circonférence CED sur la demi-circonférence CAD y le point B tombe en A : les deux arcs AC, BC, doivent se recouvrir parfaitement , et sont dits, ponr cette raison, égaux entre eux. Le point C se nomme le milieu de l'arc A. De même , les arcs AD, BD, étant égaux entre eux , le point D est le milieu de Parc ADB. En outre, comme, après la superposition des deux demi-cercles, le point I reste commun et que les points A et B coïncident , il s'ensuit que lA est égal à LE , c'est-à-dire que le point I est le milieu de la corde AB.

Chacune des portions IC, ID, du diamètre CD, comprises respectivement entre les milieux C et D, des deux arcs ACB, ADB, et le milieu I de leur corde commune AB, se nomme \9l flèche de l'arc correspondant.

Enfin , on donne le nom de Segmbst du Cbbglk à la portion de cercle comprise entre un arc, ACB ou ADB, et sa corde AB ; et de Sectxur CxacniAïaB à la, portion de cercle comprise entre un arc, ACB ou ADB, et les deux rayons, OA , OB, qui aboutissent à ses extrémités.

De la règle et du compas,

N^ fis. — La ligne droite et le cercle , qui sont les seules lignes dont traite la Géométrie élémentaire , se tracent respectivement sur un plan , à l'aide de la Règle et du Compas (*).

(*) D^antrcfl instruments, tels que VÊquerre, le Compas de Proportion, lo Rapporteur, \^Graphomèîre , etc., sont é(][alcment employés dans la Géométrie f*ratîqiie{ et noua nous réservons d^en donner )a description & la fin do rouTitige.

lO IirT&ODUCTIOlf.

Fio. 8. Pour faire passer une droite par deux points A et B (fig. S', donnés [sur un plan, on se sert d'une règle bien dressée, c*est-à^ dire à bords saillants supposés parfaitement rectilignes [et il existe des moyens mécaniques de satisfaire à cette condition d'une manière suffisamment rigoureuse]. En disposant cette règle à plat sur le plan , de manière que Tun des bords passe par les deux points donnés A et B, on fait ensuite glisser le long de ce bord un crayon, une plume, un tire^Ugne, etc.

FiG. g. I^ compas est un instrument {fig. 9) composé de deux branches [ généralement égales'] , terminées en pointe à Tune de leurs extrémités , et réunies à l'autre extrémité [nommée tête du compas'] par une articulation qui permet aux branches de s'ouvrir ou de s'écarter plus ou moins Tune de l'autre. Une des pointes est destinée à marquer le centre du cercle qu'on veut décrire , tandis que l'autre pointe doit être armée d'un crayon ou d'une plume qui trace alors la circonférence.

Lorsqu'on veut décrire au moyen du compas» sur an plan donné, une circonférence dont le centre soit situé en un point donné A du plan , et dont le rayon ait une longueur déterminée AB, on commence par donner à l'insbrument une ouverture égale à la longueur donnée , c'est-à-dire telle que les deux pointes puissent être placées en même temps sur les extrémités de cette longueur ; ensuite on fixe la pointe sèche, A , sur le point donné, et Ton fait glisser la pointe armée , B , sur le plan. Cette dernière pointe, en tournant autour du point A, trace la circonférence demandée ; c'est ce qu'on appelle

Décrire une circonférence d'un point donné A comme centre , et dun rayon égal à une droite donnée AB.

N^ W.'^Deux circonférences décrites de points différents comme centres, mais apec le même rayon , sont égales et superposa blés; — car, si l'on transporte le second cercle sur le premier, de manière que leurs centres se confondent ainsi que leurs plans, les denx circonférences coïncideront dans toute leur étendue; sans quoi tous les rayons de l'une ne seraient pas égaux à tous les rayons de l'autre.

ifrraooucTioR. 1 1

bes dioerses etpèces de propositions et de questions,

N<* 17. — On distingue plusieurs espèces de propositions et de questions 9 auxquelles on est convenu de donner des noms différents:

i^ — L'Axxoxxest une proposition évidente par elle-^méme^ dont le simple énoncé suffit pour en faire immédiatement reconnaître la vérité. — Telles sont les suivantes :

— Un tout est plus grand que chacune de ses parties, -— ou bien — La partie est plus petite que le tout;

— Deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles;

— Deux quantités égales, augmentées ou diminuées à la fois d'une même quantité, donnent des résultats égaux , — etc.

2** — La DftMAirDB ou lepostulatum est wae proposition dont la vérité est admise sans démonstration, quoiqu'elle n'ait pas tout à fait le même degré d'évidence que l'axiome.

3^ — Le TBioaixx est une proposition dont il est nécessaire de prouver la vérité; ce que l'on fait au moyen d'un raisonnement appelé démonstration, en s'appuyant sur des vérités déjà reconnues.

Dans l'énoncé d'un théorème , on distingue ordinairement deux parties principales , dont la première , appelée hypothèse, est une supposition faite sur un certain sujet, et dont l'autre, nommée conclusion, est la conséquence de cette supposition.

4° — La RiciPKOQUX d'un théorème [ou d'une proposition quelconque ] est une autre proposition qui résulte d'une sorte de renversement de la première, de telle manière que , le sujet principal restant le même , la conclusion prend la place de l'hypothèse , et vice versé.

Souvent une même proposition admet plusieurs réciproques : et c*est ce qui a lieu toutes les fois que l'hypothèse est complexe, c'est-à-dire peut se décomposer en plusieurs propositions partielles et indépendantes les unes des autres.

n existe aussi beaucoup de propositions dont les réciproques umt fausses: de là résulte» en général y la nécessité , soit de démontrer les propositions inverses lorsqu'elles sont vraies et ne

I a IHTEODUCTION .

découlent pas immédiatement de leurs directes , soit , quand elles sont fausses , d'en faire ressortir Tabsoif^ité.

Enfin 9 il y a des propositions qiû ne sont susceptibles d^aucune espèce de renversement , c'est-à-dire dont les énoncés pris à rebours y n'offrent aucun sens raisonnable à Tesprit.

5** •^- Le CoEOLLAiEB est la conséquence immédiate d'une proposition.

On doit voir, par cette définition ^ qu'il ne saurait exister de. différence bien essentielle entre un corollaire et un théorème. £o effet, d'une part, presque tous les théorèmes sont des conséquences de ceux qui les précèdent plus ou nuHns immédiatement; et d'autre part , les corollaires ont souvent autant d'importance que les théorèmes sur lesquels ils s'appuient. Toutefois, la dénomination de corollaire, donnée à une proposition ^ suppose presque toujours que , s'il faut un nouveau raisonnement pour en établir la vérité, ce raisonnement est asses simple pour qu'on puisse le supprimer sans beaucoup d'inconvénients.

6° — Le PaoBLiME est une question qui a pour objet la détermination de certaines choses inconnues, au moyen d'une ou de plusieurs choses connues ou données , qui ont avec les premières des relations indiquées par l'énoncé.

On distingue deux espèces de problèmes : les problèmes g/japhiqnes ou relatifs aux figures, et les problêmes numériques ou relatifs à \ étendue ( n<* 5 }.

7® — Quelquefois , l'exposition d'une théorie ou la résolution d'une suite de problèmes exige une proposition préliminaire qui leur sert de préparation ou de base; on donne à une pareille proposition le nom de Lemme.

8^ — Enfin , le Scolie est une remarque faite sur une ou plu* sieurs des propositions qui ont précédé, et dont l'objet spécial est de faire ressortir V extension qu'on peut leur donner, les res* frictions auxquelles elles sont soumises, leur liaison mutuelle, leur utilité, etc.

Souvent le scolie donne lieu à établir de nouvelles définitions , à démontrer de nouveaux théorèmes, à résoudre de nouveaux problèmes.

INTRODUCTION. l3

Méthodes de démonstration,

N** 18. — Des différems moyena de démonstration particuliers à la Géométrie, le plus fécond» et le plua simple en même temps lorsqu'il est susceptible d'être employé, se trouve dans la superposition des figures. Il consiste à prouver que l'on peut foire coïncider^ c'està-dire que l'on peut appliquer exactement deux figures l'une sur l'autre; ce qui conduit alors à conclure Végaiité de toutes leurs parties , chacune à chacune-

On distingue deux modes de superposition qu'il est nécessaire de caractériser. Pour cela , observons que toute figure tracée d'abord sur un plan , et ensuite détachée de ce plan par la pensée , offre toujours deux faces que l'on peut appeler le dessus et le dessous de la figure , ou bien , en termes vulgaires ^ Vendrait et Vençers. Or, les deux faces qui , dans la superposition , s'appli* quent l'une contre l'autre , ou en regard Tune de l'autre , peuvent être, ou des faces de même nom , ou des faces de noms contraires.

Gela posé , on dit que la superposition est directe toutes les fois qoe les faces de noms opposés, dans les deux figures, sont appliquées l'une contre l'autre; et la supeipositkm est dite inverse si les deux faces de même nom se regardent mutuellement.

On a un exemple du premier cas dans la démonstration Q«:posée au n** 16 , et un exemple du second dans la démonstration qui termine len® iS.

N^ 19. — La superposition directe d'une figure plane sur une autre tracée dans le même plan, peut toujours s'effectuer au moyen de deux mouvements successifs , l'un de Transiation , l'autre de PivoTEKEiiT ou de RoTATioi? Hutour d'un certain point appelé Centre de rotation ou eie pivotement. — Quelquefois même , un seul des mouvements suffit. — Mais pour la superposition inverse, il faut , de plus , un troisième mouvement qui consiste à faire tourner la figure mobile autour d'une droite située dans le plan et considérée comme charnière, droite que l'on nomme Jxc de Rabattement, ou

de REVOLUTION.

l4 IimODVCTIOlf.

Nous aurons par la suite une foule d*occasions d^éclaircir » par des exemples, le principe de l'égalité des figures par superposition.

N** 90. — n existe un autre moyen de démonstration, plus général encore que le précédent , en ce que ses applications ne se bornent pas à la Géométrie , et peuvent s'étendre à toutes les scienoes de raisonnement. Cette méthode , connue sons le nom de RfavcnoH A l'Absurdb, consiste à supposer d'abord que la proposition à établir ne soit pas vraie , puis , par certaines déductions tirées de vérités déjà reconnues et rigoureusement constatées , à faire ressortir une contradiction avec quelques-unes de ces vérités , ou avec la supposition elle-même.

Un pareil genre de raisonnement, quoique très-rigoureux , a pourtant quelque chose ô^ indirect ; aussi doit- on en faire usa^e avec beaucoup de réserve , et surtout quand on a déjà acquis , par certaines considérations , un pressentiment de la vérité qu'D s'agit de mettre en évidence , comme il arrive, en particulier, pour toutes les propositions dites réciproques ou inverses. {Voyez le n* 17, 4''}

Pour donner un exemple de ce mode de démonstration , nous choisirons une proposition qui se décompose en trtÀs propositions distinctes donnant lieu à autant de réciproques; et nous allons faire voir comment la réduction à Vahswrde peut être employée à démontrer ces dernières:

Un cercle étant tracé sur un plan ,

I** — Tout point [sujet] situé sur ia circonférence [hypothèse] , est à une distance du centre égale au rayon [conclusion] ;

2^ — Tout point situé en dedans du cercle y est à une distance du centre plus petite que le rayon ;

3* — Tout point situé en dehors du cercle, esta une distance du centre plus grande que le rayon.

La première de ces propositions est comprise dans la définition même du cercle; et les deux autres en sont des conséquences évidentes.

Voici maintenant les réciproques :

Un cercle étant tracé sur un plan ,

i • — Tout point (même sujet) dont la distance au centre est rgaic au rayon [hypothèse], est situé sur la circonférence [conclusion] ;

IimLODUCTlOK. ]5

«|0 — Tout point dont la distance au centre est plus petite que le rayon f est situé en dedans du cercle i

3° — Tout point dont la distance au centre est plus grande que le rayon , est situé en dehors du cercle.

Ces trois réciproques résultent nécessairement de l'existence supposée admise, des trois propositions directes. Par exemple , si Je point donné est à une distance du centre, moindre que le rayon , il ne peut être situé qu'en dedans du cercle ; car, pour qu'il (Ùt situé sur la circonférence ou en dehors du cercle, il faudrait, en vertu de la première et de la troisième des propositions directes, que sa distance au centre fût égale ou supérieure au rayon ; ce qui , dans un cas comme dans l'autre , impliquant contradiction avec i'hjrpothèse , est par conséquent absurde,

^® fil . — Nous pouvons dès à présent réduire en règle générale le mode de démonstration que nous venons d'employer, et poser en conséquence le principe suivant , qui est de la plus grande importance :

Toutes les fois que, dans une proposition ou une série de propositions, on a fait toutes les HTPOTHisBS admissibles sur un sujkt déterminé y et que ces hypothèses ont conduit à des coircLUSioiis respectives essentiellement distinctes y et dont chacune exclut toutes les autres , on peut affirmer que les Réciproques des propositions établies sont toutes veaies.

Ainsi , en revenant sur les trois premières propositions du numéro précédent, comme on aperçoit sur-le-champ , — i** — que le point, pris pour sujet y ne peut avoir que trois sortes de positions essentiellement différentes dans le plan du cercle ; — 2** — que pour chacune de ces positions, il y a une conclusion particulière relativement à sa distance au centre; — et 3** — qu'enfin une quelconque des trois conclusions exclut les deux autres : alors , on ne peut plus mettre en doute l'existence d'aucune des trois réciproques.

Nous engageons les élèves à se bien pénétrer àe^ce principe qui est applicable à la plupart des propositions inverses.

y** M. — Nous terminerons ce qui a rapport aux méthodes de démonstratîun , en signalant deux sortes àefaux raisonnements y

tt) INTRODUCTION.

Urès-coinmuns de la part des ooimnençants , et contre Icsqudsils ne sauraient assez se tenir en garde : ce sont^ en termes de logique , le CxacLK v^iciEux , et la Pétition de FBurcipm.

Le cercle vicieux est un raisonnement dans lequel , pour démontrer une proposition , cm s'appuie , soit implicitement , soit explicitement , sur une autre proposition qui , d*après la marche cpie l'on a suivie , ne peut elle-même être démontrée qu'à Taide de la première.

La pétition de principe est un raisonnement dans lequel , pour démontrer une proposition , on s'appuie sur la proposition ellemême. — C'est donc une sorte de cercle vicieux.

Rien n*est plus propre à prémunir l'esprit contre ces groosières violations des premiers principes de la logique , que de consulter souvent , et même de tâcher de se graver dans la mémoire le programme , ou la table des matières, qui se trouve placée en tête de cet ouvrage, afin d'avoir sans cesse présent à l'esprit, soit V ordre des différentes propositions , soit \ enchaînement des diverses parties d'une même proposition ; car c'est surtout en perdant de vue cet ordre et cet enchaînement, que l'on s'expose à commettre, dans le premier cas , un cercle vicieux , et dans le second , une pétition de principe.

Division générale de cet oiwrage.

N** 25. — Les figures planes étant celles que l'esprit se représente le plus facilement, et les propriétés de toutes les figures se ramenant, d'ailleurs, à celles des figures planes, tous les Auteurs s'accordent à diviser la Géométrie en deux Vm^tius principales :

x** — La Géométeie Plane, qui a pour objet l'étude àes propriétés des figures planes (9? tt), et la mesure des deux sort<*s d'étendue qu'elles présentent (n® 3) ;

2® — La Géomi£Teib Dans l'espace , qui comprend les propriété» des figures dont tous les points ne sont pas dans un tnéme plan , et la mesure des diverses sortes d'étendue qu'elles présentent.

Chacune de ces deux parties priiuipales se subdivise ensuite en deux autres parties secondaires ou Livavs, suivant que Ton étudie

INTRODUCTION. f]

les figures en elles-mêmes, ou qu'on les considère sous le point de vue des relations métriques ou des rapports numéréques auxquels donnent lieu les portions de lignes, de sur&ces, etc. . . . dont elles sont composées. — Chaque livre est divisé en trois CbapiTftEs; de sorte que Touvrage entier se compose en définitive de quatre Uçres en douze ehapitres»

Quant à la division des chapitres, chacun d'eux contient un certain nombre de paragraphes, et chaque paragraphe, un ou plusieurs groupes de propositions ou de questions,

he premier livre traite ées propriétés de la ligne droite et du cercle, abstraction faite de leur étendue et de toute relation numérique autre que celles qui se rattachent à Tégalité des figures ; le second contient l'exposition de celles des propriétés des figures planes , qui dépendent plus particulièrement du calcul numérique. Le premier chapitre du premier Hure comprend les propriétés des FiGuaBs bsctilignes; le second chapitre, celles du cercle et des figures qui en dépendent; et le troisième chapitre renferme, sous la dénomination de pROSLiMRs, des applications de toutes les théories qui ont fait l'objet des deux premiers chapitres.

Le premier chapitre du second livre traite des lignes propor- TioNNEiiLzs , des FIGURES sxMBiABLES , et de la détermination des AIRES àcA figures rectilignes; le second chapitre , des lignes proportionnelles considérées dans le cercle , de la détermination des aires des POLYGONES RiouLiERS et du CERCLE ; enfin , le troisième chapitre se compose de pROBLixES ou applications des théories exposées dans les deux premiers chapitres.

Ces deux livres sont suivis d'un Appendice contenant diverses théories qui, sans faire partie essentielle des Éléments proprement dits, n'en sont pas moins importantes. Cet Appendice présente en outre des considérations générales sur les courbes , et l'exposition des propriétés élémentaires des courbes les plus simples et les plus importantes après le cercle.

Nous avons suivi un ordre tout à fait analogue dans le développement des deux autres livres.

Ainsi , les deux premiers chapitres du troisième livre traitent des propriétés du plan et de la ligne droite considéras dans

N B. — Dans cette première partie toutes les ûf^ures sont supposées dans un seul et même plan.