LIVRE PREMIER

DES nGURES CONSIDÉRÉES DANS UN PLAN.

PRELIMINAIBES.

» 00 V ELLES DÉFINITIONS NÉCBSSAIEES A L^ INTELLIGENCE DU PEEMIEE LIVBB. — CONSEQUENCES QUI EN DEEIVENT IMMEDIATEMENT.

Des angles en général.

N*» 24, — On donne (n? iOj le nom d* Angle à chaque portion indéfinie de plan y comprise entre deux droites, BD , CE [fig* 3), Fie. 3. qui se coupent en un point A] et ce point est dit alors le sommet de chaain des quatre angles BAC , BAE , D AE , DAd, qui résultent de cette intersection.

Un angle se désigne ordinairement par trob lettres , celle du milieu j A. f inàiqQZSïi le sommet. Cependant, quand un anglq est isolé [Jîg. lo) , on peut le désigner par une seule lettre : ainsi Ton F*c. lo. dit indiffcremment l'angle BAC ou l'angle A.

Dans \^ figure 3 , les angles BAC y DAE , dont chacun est compris entre les prolongements des côtés de Tautre , sont dits des Angles Opposés /?0r le sommet; il en est de même des deux angles BAE , PAC. Au contraire, deux angles BAC , BAE, qui ont un coté commun AB, les deux autres côtés restants^ AC , AE, étant mutuel* lement les prolongements Pun de Pautre , sont dits des Angles Adjacents : tels sont encore les angles BAE et EAD , EAD et DAC^ DAC et CAB , pris ainsi deux à deux.

De l'angle au centre,

K*" 25. — Les angles étant, diaprés leur définition, essentiellement indéfinis , on peut d*abord éprouver quel^pie peine à se faire une

22 PBKLIMOrAIAXS.

idée nette de cette espèce de grandeur. Biais il est facile de ramener la considération des an^es à celle d'autres grandeurs, >&if£^ de leur nature , et qu'il est par conséquent plus aisé de se représenter dairemenl. .

FiG. II. Pour cela, soient deux angles AOB, A'O'B' {Jlg. ii). Concevons que de leurs sommets O, (y, comme centres , avec le même rayon , on ait décrit (n** £5) deux arcs de cercle , AB, A'B' : chacun des angles est dit un AifoiiS au cximix. -^ Gela posé ,

11 est clair d'abord , que quand les angles au centre, AOB, A'0'B% sont égaux, les arcs interceptés , AB , A' B', sont aussi égaux; car si, employant la superposition directe (n® tS), on applique le rayon O'A' sur son égal ÛA , comme , par hypothèse, l'angle A'O'B' est égal à l'angle AOB , le côté O'B' s'appliquera sur le côté OB ; et, à cause de O'B' r= OB , le point B' tombera sur le point B : ainsi les deux arcs A' B', AB, ayant leurs extrémités communes, se recouvriront parfaitement : ces arcs sont donc égaux (n*^ 14).

Il n'est pas moins aisé de. prou Vef {toujours par la superposition] que quand un angle AOB est plus grand qu'un autre angle A'CyC, l'arc AB , correspondant au premier , est plus grand que l'arc A'C, correspondant au second ; car , après la superposition des deux rayons égaux O'A'etOA, le côte O'C viendrait prendre une position OC intérieure à BOA , et le point (T tomberait en C sur AB ; ce qui donne AG ou A'C plus petit que AB.

De là, en vertu du principe établi au numéro ^i , on déduit que réciproquement , si les arcs, AB, A^', sont égaux, les angles au centre , AOB , A^O' B', sont aussi égaux ; et si l'arc AB est plus grand que l'arc A'C, l'angle au centre AOB est plus grand que l'angle au centre A'O'C

Ces raisonnements étant évidemment applicables au cas oii les angles que l'on considère auraient le sommet commun , et situé, par conséquent, au centre de la même circonférence, nous sommes en droit de conclure de tout ce qui vient d'être dit,

Que, I** — Dans un même cercle ou dans des cercles égaux, à des angles au centre égaux entm eux correspondent des arrs égaux ; — et récipmqiiement ;

Et que, 2* — ji im plus grand angle au centre correspond un p/us grand arc; — et réciproquement.

Nous nous réservons de revenir par la suite sur ces prc^iosicions pour les généraliser. Mais nous en avons dit assez pour Tintelligence de ce qui va suivre.

De l'angle droit et de la perpendiculaire,

N*» M. — Lorsqu'une droite AB (Jlg, 12} est rencontrée par une Fie. la. autre droite CD qui fait avec elle deux angles adjacents, AOC, BOC, égaux entre eux , chacun de ces angles*se nomme un AnglbDeoit ; et la seconde droite OC ou CD , est dite Perpek diculairb sur la première AB. Le point O où les deux droites se rencontrent , s'appelle le pied de la perpendiculaire.

Il est aisé de prouver, à l'aide des propositions du vS^W^ que

Si une droite CD est perpendiculaire sur une autre droite AB , réciproquement celle-ci est perpendiculaire sur la première.

En effet y supposons que dn point O comme centre , et avec un rayon arbitraire 0£ , on ait décrit une circonférence ; comme cha> cnne des droites GE , FH, est un diamètre (n** iS) , il s'ensuit que GFE et GHE, FEH et FGH, sont des demt'cirxMnférences. Or, par hypothèse, les angles AOG» COB, sont égaux; donc (n<* W) les arcs GF, FE, sont cgaux.entre eux, et égaux chacun à un quadrant (n® 14). Mais puisque FEH est une demi-circonférence, et que FE est déjà un quadrant , l'arc EH est aussi un quadrant , et Ton a FE = EH ; d^où l'on déduit FOE ou COB égal à EOH ou BOD.

On prouverait pareillement que les angles BOD et DOA , DO A et AOC, sont égaux. Donc enfin AB est perpendiculaire sur CD ^ de même que CD est perpendiculaire sur AB.

Ceci démontre en même temps que les quatre angles droits formes autour du point O, sont égaux entre eux.

En outre, si Ton considère deux autres droites A'B', CD' {fig. i3), perpendiculaires entre elles, et que du point O^ comme Fie. i3: centre , avec un rayon O'E' = OE , Ton décrive «ne ctroonfé* rcnce de cercle, les quatre quadrants formés en O' sont nécessairement égaux aux quatre quadrants formés en O; donc les

^4 PBÉLIMIHAiaES.

quatre angles en O M>nt égaux aux quatre angles en 0^ Ainsi ,

Tous les angles droits sont égaux.

N^n. — n est encore facile de démontrer dès k présent ,

I ® que — Par un point pris sur une droite , on ne peut iLKVEB qu'une seule perpendiculaire sur cette droite ;

Et a<^ que — Par un point pris hors d'une droite y on ne peut ABAISSER qu'une perpendiculaire sur cette droite,

La première proposition est évidente d'après \^fig. 12; car soient, s'il est possible , les deux droites OC, OL, perpendiculaires à la droite AB, en un même point O \ puisque AOC^ COB, sont des angles droits, les arcs GF, FE, sont des quadrants. Par la même raison, les arcs GI, I£, sont des quadrants. Ainsi chacun des points I et F serait à la fois le milieu de la même demi-circonférence GIFE , ce qui est absurde.

Fie. 14. Supposons en second lieu, que CE, CF [fig. i4)} soient deux perpendiculaires abaissées d^un même point G sur AB. Faisons tourner la figure C£F autour de AB comme charnière, de manière à la rabattre en C'EF , dans son plan primitif, et de l'autre côté de AB. Cela posé, les deux portions de droite £C, EC, doivent être les prolongements l'une de l'autre, puisqu'elles sont peipendiculaires à AB , et qu'on vient de voir qu'en un même point B de AB, on ne peut élever qu'une perpendiculaire à cette droite. Par la même raison, FC, FC, doivent faire partie d'une droite unique. D'où il résulterait que par deux points donnés, C, C^ on pourrait ' mençr d^ux droites différentes , ce qui est absurde (n^ 6).

19® 2B. — On nomme Angle Aigd tout angle moindre qu'un angle droit, et Akolb Obtus tout angle plus grand qu'un droit. Ainsi, Fie. la. dans \9ifig. 12, l'angle AOL est un angle aigu, et l'angle LOB un angle obtus.

Deux angles , l'un aigu , l'autre obtus , dont la somme vaut deux angles droits, sont dits supplémentaires ; et deux angles dont la somme vaut un seul angle droit, sont dits complémentaires. II résulte de là que tout angle droit est à lui-même son propre supplément , et qu'il a zéro pour complément»

On peul dire encore [troisième axiome énoncé au numéro 17]

PHilIMINAIllBS. aS

Deux angles supplémentaires^ovL complémentaires d'un troisième, sont égaux entre eux.

Propriétés des angles adfaeents et des angles opposés,

N® 88. — Nous terminerons les considérations préliminaires sur les angles y par quelques propositions d'un usage continuel et qui découlent immédiatement des principes précédents.

i** — Lorsqu'une droite OC {Jig. i5) tombe sur une autre AB, Tic. i5. de manière à former avec elle deux angles adjacents inégaux, AOG, COB [auquel cas OC est dite une Oblique]^ ces angles sont supplémentaires.

Car si, au point O, on élève la perpendiculaire OD, la sooune des deux angles AOC, COB, sera identique avec la somme des deux angles droits AOD, DOB.

Remarquons , en passant , que de ces deux angles , l'un, AOC, est ohtus, et surpasse de DOC l'angle droit; Tautre, COB, est aigu, et a pour complément (n<> S8) le même angle DOC.

2» — Les angles opposés, BAC, DAE [fig. 3), ou DAC, BAE Fig. 3. [foraiés par deux droites qui sç coupent (n*' 94)], sont égaux entre eux.

Cela résulte évidemment de ce que les deux angles BAC, DAE, par exemple , sont à la fob, d'après ce qui vient d'être dît y, sup- ^ plémentaires du même angle BAE.

I9« 50. — Ces deux propositions ont d'ailleurs leurs réciproques qiii ne sont pas moins importantes :

i^-- Lorsque deux angles consécutifs , AOC, COB(y%. i5), sont Fie. i5. supplémentaires, les côtés extrêmes, OA, OB, sont les prolongements l'un de l'autre en ligne droite; — et les angles sont adjacents (n^U)»

Car si OB n'était pas le prolongement de OA en ligne droite, soit OE 08 prolongement : COE serait, en vertu de la proposition directe, le supplément de AOC ; mais déjà, par hypothèse , AOC a pour supplément COB ; il en résulterait donc (n<» 88) COE = COB, ou la partie égale au tout, ce qui est absurde.

2" — Si deux angles égaux, BAC, DAE {Jig. 3), situés de Fig. 3. part et d'autre d'une même droite BD, ont deux de leurs côtés.

^6 PaiililMIHAIAU.

AB 9 AD , situés sur cette droite , et dirigés^ en sens conlrairts à partir d'un sommet commun A , les deux autres côtés sont aussi en ligne droite; — et les angles sont opposés (n® S4 ).

En effet , BAD étant une ligne droite 9 l'angle BA^ ^^ supplémentaire de DAE; et comme on a y par hypothèse, DAE = BAC, il s'ensuit que BAE est ansti sttpf^émentaire de BAC; donc, eii vertu de la réciproque précédente , GAE est une ligne droite.

N» 31.— En général:

1" — Im somme de tous les angles fonnés autour d'un point 0, est égale à quatre angles droits;

2® — La somme fie tous les angles consécutifs AOC , CDD, DOE, Fie. 16. EOB [fig» 16), formés d'un même côté d'une droite AB, est égale à deux angles droits.

Il suffit, pour le prouver , d'élever sur AB la perpendiculaii^ LOL' ; et alors les deux propositions sont évidentes.

Des parallèles,

N** 58. — On donne le nom de PAftAiLiàtEsà deax droites qui, situées dans un même plan , ne peuvent se rencontrer, quelque prolongées qu'on les suppose dans les deux sens de leur direction.

Il est facile de constater l'existence de droites qui remplissent les conditions de cette définition. En effet, que l'on suppose , par exemple, dans un même plan, deux droites distinctes AB, CD Fio. 17. (yîjgr. I fj^j^ perpendiculaires à une troisième EF, aux points respectifs M et N : il est clair que ces perpendiculaires ne sauraient se rencontrer, quelque loin qu'on les prolonge; car si elles avaient un point commun , il s'ensuivrait que de ce point on poiurait abaisser deux perpendiculaires sur une même droite EF, ce qui est absurde {n° ^7). — Les deux droites , AB, CD, jsont donc des droites parallèles.

N^ 55. — Ainsi , deux droites parallèles sont néoessatrement dans un même plan, d'après leur définition ; et elles le déterminent, puisqu'en prenant deux points arbitraires sur l'une d'elles , et ua autre point sur la seconde , on a trois points non en ligne droite, et que. par ces trois points , on. ne peut (n° 8) £ure passer qu'un seul plan.

PEKLXMIKAimES. 2']

Ce plan unique, déterminé par les deux parallèles , se nomme le pian des deux parallèles •

N® 54. — Nous établirons à titre de Demaitok (n^ i7), c'est-àdire que nous admettrons sans démonstration , la proposition dont voici renoncé :

Une perpendiculaire, OC {fig* 18}» et une oblique y EF, à une Fie. 18. même droite ÂB, menées dans un même plan ^ se rencontrent tour^ jours y pourvu qu'elles soient suffisamment prolongées. — La rencontre a lieu d'ailleurs du côté de la droite AB où Fangle intérieur, OEF, est aigu (♦).

(*; Nous croyons devoir exposer ici, mais seuTement en forme de ffote, la démonstration dne, pour le fond, à BsRTKAim de Genève. Elle repose sur les deux lemmes suivants :

1^*^ LBMMX. — Toute bande contrite entre deux parallèles AB, CD {fg. 19}, Fic. 19. quel que soit leur écarteraent , est contenue dans an plan un nombre de fois nécessairement infini.

En effet , fiiisons toumei* la bande ABCD autour de CD comme charnière, de manière qu^elle vienne se rabattre sur son plan, en CDA'B'. Faisons de même tourner CDA'B' autour de A'B'de manière à former une troisième bande A'B'C'D' égale aux deux premières; et ainsi de suite.

Reprenons maintenant la bande ABCD , et retournons-la successivement sens dessus dessous, du cAté de AB, comme nous Tarons fait du cAté de CD ; nous aurons ainsi d^autres bandes égales aux premières, AB^, cdah^ abc'd*,... Or, quelque nombre de fols que ces opérations soient répétées, il est évident qo^on ne parviendra jamais à recouvrir entièrement la surface plane qui contient ces bandes , puisquMl restera toujours à droite et à gauche des deux dernières bandes ainsi formées, un espace qui sera lui-même encore indéfini.

On doit conclure de là que la bande ABCD est contenue dans son plan un nombre de fois qui ne peut être limité.

Il* LmHK. — Un angle tfuelconque AOB {fig. no), si petit quMl puisse Fie. oo> être par rapport à Pangle droit AOC , est contenu dans son plan un nombre de fois essentiellement limité.

En effet, si Ton répète cet angle , comme le montre la figure, un nombre «udisant de fois, nombre essentiellement ^m [qu^il est toujours possible d^assigner, et qui est d^autant plus petit que Tangle AOB est plus grand par rapport à Pangle droit], on obtiendra évidemment bientôt une somme d'angles assex grande pour recouvrir entièrement, d'abord Vangle droit, puis deux angles droits, puis trois, i^m^ quatre , et par conséquent 1a surface tout entière. — Ce qui démontre le Icmme énoncé.

Autrement :»Si du sommet O comme centre, et d^un rayon quelconque 01),

28 PBÉLXMlNAiaES.

Gïtte proposition, qui n*e$t autre chose que le Postuu^tim d'EuGLiDE , étant admise , on en déduit évidemment les con»^ quences suivantes :

Fie. 1 7 . I ° — Par un point M {fig. fj) prié hors d'une droite AB , on ne peut mener qu'une seule parallèle à cette droite;

Abaissons du point M sur AB, la perpendiculaire MN, puis par le même point M élevons sur Mlï la perpendiculaire CMD. !Nous savons déjà ( n® 5S) que CD est une parallèle à AB : or je dis de plus que c'^t la seule parallèle qu'on puisse mener par le point H; car toute autre droite passant par ce point est nécessairement une oblique par rapport à MN , et doit par conséquent , en vertu du postulatum, rencontrer la droite AB perpendiculaire à MN.

Fie. 17. 2» — Si deux droites, AB, CD (Jîg^ 17), sont parallèles, toute

oQ décrit une eirconféi^qce, Tarq totiU correspondant à la somme des angles finira par égaler la circonférence lorsque Tare partiel correspondant à Fangle AOB sera une partie alUfnotfi de cette circonférence, et dans la cas contraire, par surpasser la mdme circonférence. Or, comme la somme des angles égaux qui correspoi^d à cvette circonférence, recouvre ontièrement le plan , on est conduit à la même conséquence que ci-dessus.

De là on peut conclure, en général , — qu^C^ii angle, quelque petit qa^il soit [ par rapport à Tangle droit], surpasse engrandeur tqmU figure suseeptihU^ d'être contenue dans t^tf, plan ufi nombre illimité de /ois, -^que cette figure soit d^ailleurs ou ne soit pas limitée de toutes parts; — et 4e plus, /'««t^/e loimôme contient cette fypire un nombre illimité de J'ois. Fie. 18. Toyt ceci étant admis, reprenons la^. 18, et, après, aroir élcTé au pointa la droite EG perpendiculaire à AB, observons qu^en vertu de ce qui vient d''étre dit, Tangle F£G est plus grand que Pespaco indéfini CX)EG [ moitié de la bande CDGH ]. Or les deijix espaces F£G , COEG ont une limite commune £G; donc il faut nécessairement que £F suffisamment prolongé, rencontre quelque part la droite QC; autrement Tanglc serais re^fermé entièrement dans la demi<ban,de, et serait plus petit quVllcy ce qui implique contradiction. Donc enfin EF doit rencontrer OC,

S^il s'agit de la droite £F' faisant Tangle obtus OEF', comme alors Pangle OEH' est aigu , la rencontre de £F' avec OC a Heu de Tautrcoôté de AB : ainsi la proposition, présentée comme demande, se trouve démontrée.

Quoique cette démonstration s^appuie sur des considérations assez délicates, relatives àPinfini, on ne saurait se dissimuler que, du moment où Pon admet pour définition des paraKtMcs, celle que nous ayons donnée au n** SS, il est difficile, pour ne pas dire impossible, d^exposer v\jiQ théorie des parallèles qui soit tout à fait indépendante de la notion de Tinfini.

PRiLIMINAIllES. 29

autre droite GH qui rencontre l'une d'elles CD, en un point I, rencontre nécessairement l'autre;

Car, si cela n*était pas, il s'ensuivrait que, par le même point I , on pourrait mener deux parallèles à AB.

3* — Deux droites, AB, CJy{J£g. 21), parallèles aune troisième Fie. ai. EF, sont parallèles entre elles;

Car, si elles ne l'étaient pas, il s^ensuivrait encore que par leur point de concours , on pourrait mener iieux parallèles à £F.

4^ Enfin -* Si deux droites, AB, CD (Jig> 17 )> sont parallèles. Fie. 17. toute autre droite MN perpendiculaire à l'une d'elles AB , est aussi perpendiculaire à l'autre CD ; — et réciproquement ;

Cela résulte immédiatement dwpostulatum. — On dit en conséquence, que

Deux parallèles ont leurs perpendiculaires communes.

Des polygones,

N° SIS. — On donne en général le nom de Poi^tgone à une portion de plan, ABGDEA, ABCDEFGA {J!g. 22 et>%. 22 bis), circonscrite Fig. aa et par an système de droites qui se coupent deux à deux. ^^ ^'''

Pour se Former une idée nette de ce genre de grandeur, il ^uk concevoir qu'un point mobile [par exemple , la pointe d'un crayon ou d'une plume], partant de la position A, décrive d'abord une portion de droite AB ; puis , ohangieant de direction , une autre portion de droite BC , puis une autre portion de droite CD , et ainsi de suite , jusqu'à ce qu'enfin il revienne à sa position primitive A. — L'ensemble des droites ainsi tracées circonscrira de toutes parts une portion de surface plane, que l'on nomme un polygone»

Les parties de droite, AB, BC, CD,.... sont dites les côtés du polygone; l'ensemble de ces côtés forme le contour ou périmètre <ia polygone ; les points A , B , C, . . . en sont les sommets ; enfin , on nomme diagonales les droites, telles que AC, BE, CG,..., qui joignent deux à deux les sommets des angles non consécutifs.

Du mode de génération indiqué ci-dessus résultent deux sortes de polygones , savoir : des polygones dont tous les angles sont saillants (fig, 22 ), et des polygones dont quelques angles sont ren- Fig. aa.

30 PKiUMUffAIRBS.

FiG. aa bis, trants {fig» 3a his). Les premiers sont dits des I^oltoohks Gcwyèxëa , et les autres des Poltoohss Gcnvgavbs.

N** 86. — hespofy-gonei convexes sont les seuls dont s'oocape la. Géométrie^élémentaire ; et leurs caractères principaux sont les suivants :

I® — Une droite tracée dans leur plan , ne peut rencontrer leur contour en plus de deux points ;

2® — Si l'on suppose un côté quelconque prolongé indéfiniment, — Tous les sommets t excepté ceux qui le terminent ^ sont situés dans la même région (n^ il) par rapport à ce côté.

3® — Toutes les diagonales sont intérieures ; — et de plus chacune d'elles est telle que les sommets, autres que ceux qui la terminent, se trouvent situés, les uns dans une région, les autres dans la région opposée par rapport à cette diagonale; — tandis que dans les polygones concaves il y a toujours quelque diagonale par rapport à laquelle tous les sommets occupent la même région. — Fie» VI bis. Telle est la diagonale AD {fig, aa bis),

N® 57. — Il faut évidemment au moins trois droites pour dreonscrire une portion de plan. Ainsi , le polygone le plus simple sous le rapport du nombre des côtés , est celui de trois côtés que Ton nomme un Thiakolx.

Tout triangle eff nécessairement convexe; et cette figure ne saurait avoir de diagonales.

Viennent ensuite :

Le QuAD&iLATiaB ou le polygone de quatre côtés ,

Le PsNTAOONx cinqy

L^sxàGOinE ^fx^

L'Heptagonb s^t,

L'OcTOGom ktUt,

L'EHNiAGONx neufy

Le DECAGONE dix,

L'Ehsécjloohe onze,

Le DoD^CAGOirE douze.

Au delà de douze côtés , lès polygones ne reçoivent plus de dé -

PRÉLIM in AIBXS. 3 1

nominations spéciales, excepté celui de quinte côtés que l'on nomme

PENTiDiCAGONK.

Du triangle en particulier^

N® 58. — Nous établirons ici, par rapport ait triangle, quelques propositions qui seront d*un usage fréquent dans la suite.

I** — Dans tout triangle ABG {fig- 23), «/i quelconque des^iQ. ^3. côtéSy AB , est moindre que la somme des deux autres et plus grand que leur différence.

La première partie de la proposition est évidente d'après la définition même de la ligne droite ( n** 5 ) : c'est-à-dire que l'on a évidemment