CHAPITRE IL
DE l'Étendue dans les figures circulaibes.
Ce chapitre aura trois paragraphes, savoir : — i** — la théorie d« lignes proportionnelles considérées dans le cercle; — Véffaluation des côtés et des aires dans les polygones réguliers; — 3** — la mesure du cercle sous le double rapport de son étendue linéaire et de son étendue superficielle.
S I. — Des lignes proportionnelles considérées
dans le cercle.
TnioRiMB L (/^^. i5o. ) Fie. i5o.
N* SS6. — Les segments de deux cordes AA', BB', qui se coupent en un pointV intérieur à un cercle, sont inversement proportionnels:
[Ce qui veut dire que les segments de Tune des cordes forment la extrêmes d'une proportion dont les segments de l'autre corde forment les moyens, ]
Tirant les cordes auxiliaires AB, A'B', on obtient ainsi deux
l86 LIY. II. — CHAP. II. § I.
triangles , PAB , PA' B', semblables entre eux comme ayant les angles égaux (n*»iD5), i"en P, »• en Aet enB', 3'en B et en A'(n"IM) Donc y en comparant leurs côtés homologues, on a la proportion AP : PB' :: PB : pa'; c.q.f.d.
FiG. i5i. Sgolie I. — Si l'une des cordes est un diamètre AA' {Jig. i5i]. et que Fautre corde, BB% soit perpendiculaire à ce diamètre, comme on a alors BP = PB' (n*> iOK) , la proportion devient
AP : PB :: PB : pa'.
La perpendiculaire PB au diamètre AA' se nomme une ordonna à ce diamètre. D^où il résulte que , 1
Dans le cercle ^ toute ordonnée à un diamètre est moyenne pra-^ portionnelle entre les deux segments de ce diamètre.
Au reste, cette propriété est aussi une conséquence de celles d& triangles rectangles ; car, si l'on joint A , A', au point B , on forme un triangle ABA' rectangle en B (n*' 183) ; ce qui donne (n^'IIOS, 2'')|
la proportion AP : PB :: PB : PA'.
ScoLiE II. — Le même triangle rectangle ABA' donne (n** M5, y*)
la proportion AA' : AB :: AB : AP;
d'où Ton voit que
Toute corde menée par l'une des extrémités d'un tù'amètre, est moyenne proDortionnelle entre sa projection (n° SOtf ) sur ce diamètre et le diame^^ntier.
Fie. i5a. TnioaiMB II. {Fig. 162.)
N^ 2fi7. r^ Deux sécantes, PA, PB, pariant d'un même point V extérieur à un cercle, sont inversement proportionnelles à leurs parties extérieures.
Menons, comme dans le théorème précédent, les cordes AB^ et BA' : les deux triangles PAB', PBA', semblables comme ayani Tangle P commun et les deux angles en A, B, égaux entre eux {û? 122), donnent la proportion
\ PA : PB :: PB' : pa'.
[ Une sécante enlière et sa partie extérieure forment les exir^mt «j
LIGNES PaOPOmTlONNSLLSS UAIfS LR CERCLE. 187
nàii que l'antre sécante et sa partie extérieure forment lt!s o/ens.] C. Q. F. D.
N. B, Cette propriété s'accorde avec le scoiie du numéro 144 .
THiowbfK m. {F^g. i53.) F(c. i53.
W" 9118. «^ Si une sécante PA et une Ungente PB partent d'un
ème point P,
La tangente est moyenne proportionnelle entre la sécante entière
sa partie extérieure.
Ce théorème n'est, à proprement parler, qu'nn cas particulier
I précédent : c'est le cas où les deux points B , B'> de la sécante
B, viennent à se réunir en un seul ( voyez n® ilO).
Vais on le démontre directement en menant les cordes AB ,
^B.^On a 9 en effet , deux triangles, PAB, PA'B, semblables
nmne ayant l'angle P commun et les deux angles en A , B , égaux
itreeux(n**' 198, 194); ce qui donne la proportion
PA : PB :: pb : pa'.
ScoLiE. — n existe un cas trés-remarquable de la proportion
fi vient d'être démontrée :
Supposons que, la sécante PA [fig. i54) passant par le centre Fig. 154.
n œrcle, on ait en même temps la tangente PB égale au dia-
lètre, c'est-à-dire PB = AA' ; la proportion devient alors
PA : AA' :: aa' : pa';
(Ton dit, dans ce cas, que la droite PA est divisée au point A', I MOTEns ET xxTRiME (*), c'est-à-dirc en iieux segments , dont u [qui est nécessairement le plus grand ] est moy^n proporonncl entre la droite entière et l'autre segment. Eq outre, la proportion ci-dessus donne (n® 184)
AA' : PA — AA' :: PA' : aa' — pa', « AA' : PA' :: PA' : AA' — PA'.
,*, La location usitée généralemeot de diviaion em moyenne et extrême ■^^'1 provient d^ane altération dans le texte d^Euclide, comme il sera («nontré ailleurs; c^est pourquoi nous rétablissons ici la seule expression •«ique de ce mode de division.
l88 LIV. II. — CHAP. II. § I.
Or, si Ton prend sur PB une distance PA'' = PA', ce qui doniif [à cause de AA' = PB] ,
AA' -- PA' = PB — PA" = A"B, il en résulte PB : PA" :: PA'' : A"B.
D'où Ton voit que la droite PB est elle-même divisée au poiu* A", en moyenne et extrême.
Remarque sur les trois théorèmes précédents.
M^ 889. — Les proportions que comportent les énonces de a'» propositions donnant lieu aux égalités
PA X PA' = PB X PB', et PA X PA' = PB',
il s'ensuit qu'elles peuvent être toutes trois comprises sous un même énoncé :
Le produit des distances d'un point constant P, intérieur ou extérieur à un cercle , à deux points de ce cercle^ pris sur la même direction, est un nombre constant, quelle que soit cette direction.
[Le cas de la tangente se trouve implicitement renfermé dans cet énoncé , puisqu'il suffit de supposer les deux points réunis en un seul. ]
Et cette manière de grouper les trois théorèmes permet de donner un énoncé également plus concis de leurs réciproques , qui sont d'ailleurs des conséquences nécessaires du numéro Si : fc. i5o, i5a, jo Si quatre points , A et A', B et B' (fig. i5o, iSa , î53)^ sont situés deux à deux sur deux droites passant par un méiD^ point P, de telle manière qu'on ait
