BC» = AB' -I- AG
il en résulte aussi que , de ces trois polygones semblables, Le polygone construit sur Thypoténuse est équivalent à la somme
des polygones construits sur les côtés de Tangle droit. Les deux formules d'algèbre
(]ui ont servi de base aux théçrèmes du numéro 206, et cette autre
«^{^alement connue , étant traduites en langage géométrique , donnent lieu à de nouveaux théorèmes sur les aires , par lesquels nous tt'rmineroDS ce |)aragraphe.
l84 UV. II. CHAF. I. § V.
FiG. 148. Théorèmb V. {Fi g, 148.)
N® fiS4. — Le carré construit sur la somme ou sur la diffêrenct de deux lignes, est équivalent à la somme des carrés construits mpectipement sur ces deux lignes , plus ou moins le double de tear rectangle.
L'inspection seule de la figure est presq ne suffisante pour faire reconnaître la vérité de cette double proposition.
Soient , en premier lieu, AE la plus grande des deux lignes données, EB la plus petite ; construisons les deux carrés AEIG, ABCD; puis , prolongeons El jusqu'à sa rencontre en F avec CD.
Le carré construit sur AB , somme des deux lignes , se compose évidemment des carrés AEIG , IKGF, construits sur la ligne £et : sur la ligne IR =r £B , augmentés des deux rectangles BEIK , GIFD, lesquels ont pour bases respectives GI = AE , El = AE, et pour hauteurs GD = EB , IK = EB.
On a donc
carré AB = carré AE-^carré EB + 2 . rectangle AE X EB;
ce qui démontre le premier cas de la proposition.
En second lieu, soient AB la plus grande ligne , BE la plus petite , ce qui donne AE pour la différence des deux lignes ; et codstruisons la même figure que ci-dessus , en ajoutant toutefois es dehors de cette figure un carré GDLM égal à IKCF.
Gela posé , le carré AEIG est égal au carré ABCD y plus le carre GDLM, moins les deux rectangles EBCF , MIFL. Or ces deux rectangles ont respectivement pour bases FE = AB , IM = GK.= AB, et pour hauteurs BE = IR =r IF ; donc enfin ,
carré AE = carré AB -+- carré EB — a fois rectangle AB X BE; ce qui démontre le second cas.
Fie. 149. ThéorAmkVI. {Fig, 149.)
N° 985. — Le rectangle construit sur la somme et la différence de deux lignes, est équivalent à la différence des rectangles construits sur CCS deux lignes .
Soient Afi la plus grande ligne , BE s= BE' la plus petite, eo I
UC!IES PHOFORTIONNBLLES DANS LB CERCLE. lOD
sorte que AE représente la somme des deux lignes , et AE ' leur différence. Construisons sur AE comme base , et AG = AE' comme hauteur, le rectangle AENG, ainsi que le carré ABCD; élevons d'ailleurs la perpendiculaire E'IF , ce qui donne le carré AElG.
Cela posé, les deux rectangles BENK , GIFD, sont égaux comme ayant même base et même bauteur , savoir : BK=AG=GI=AE , EB=E'B = IK = IF=DG; d'où il suit que le rectangle AENG est équivalent à lafigure DFIKBA. Mais celle-ci est la dififérence des carrés construits sur AB et sur IK. = BE' = BE ; on a
donc rectangle AENB = carré AB — c/imeBE;
