LIV. II. — CHAF. U. — § III

donc 2» R'= ^KXr';

et comme r' est déjà déterminé , le problème est résolu.

N, B. — Ces formules sont beaucoup plus simples que œllâ des deux autres méthodes, puisqu'elles n'exigent que la détermination de moyennes proportionnelles alternativement par différence [t(R^~'')] et par quotient [^RX r*\

ScoLix I. — De la première de ces deux formules, à cause de

r <; R , on déduit ^' !> i" ('' -H '')> ou r'^r-^

et la seconde , à cause de r' <[ |(R -h RX R ,

donne R' < v'r X R , ou R'< R ;

ce qui fait voir que le rayon du second polygone est moindre qw celui du premier ; tandis qu'au contraire, V apothème du second polygone est plus grand que celui du premier. — D*où il suit que

La différence entre le rayon et l'apothème diminue indéfinimai à mesure que le nombre des côtés devient plus grand.

ScoLiE n. — De plus , on peut faire voir, comme dans le nainéro précédent , que la différence (R' — r' ) est moindre que le quart de la différence {fi — r).

En effet, soit c le côté du polygone qui est pris pour point de

départ; - est alors le côté du polygone isopérimètre d'un nombre double de côtés; et l'on a (n^ 955) les deux relations

d*oii l'on déduit

donc t à cause de 2r'<;R'-hr',

Ceci démontre avec qnelle rap l— r),(!l'r'),(R--r-)[~r" N° S87. — Application des deiu

Observons d'abord que, tante * S44) la limite supérieure d'un icrits dont le nombre de côtés de nous partons du carré par exeiUf i donne 4 pour son périmètre, et emeot les rayonsR, R', R",---, | ce carré et des polygones de 8, ec le carré, nous finirons par ai ^nie H") d'un polygone dont le pi Têrera pas sensiblement (n" S4S

cercle ayant pour rayoo R'*'.

e valeur trè»-approchée du rap ron ; et, en divisant par a , on ( proximation , le nombre désigné 11 résulte d'ailleurs de ce qui a él e le nombre v est toujours com]

déterminer à chaque opération le

Jnitesen décimales, représente I lité près de l'ordre du dernier c mmnne. Il ne s'agit donc plus q Jculer les nombres R et r, R' et r Or, en supposant dans la figure I rarré, comme le triangle AOP 1 en déduit

r op = ;ab = i.

aaa uv. ii. — cup. ii. — § m.

R et r étant connus, les deux formule»

feraient connaître B' et r', ou le rayon et l'apothème de l'ociagone régulier îsopérimèlre avec le carré ; et , en remplaçant , dans les mêmes formules, B et r par R' et r', on obtiendrait le rajnn B" et l'apothème r ' du polygone de teiie câtés ; et ainsi de suii*".

Mab si l'on veut convertir immcdiatemeot tons ces résultats en fractions décimales, le nwmert) 386 en TourDÏt le moyen. i

Après avoir réduit en décimales B = -j \3 ei r ^j , on fait la demi/somme de ces deux fractions, ce qui donne la vikur de r'; puis on mitlliplie cette valeur de r' par la valeur de B, et Von extrait la racine carrée du produit, ce qui donne B'.

On opère ensuite sur B' et r' comme on a opéré sur R et r; et qui donne R" et r".

Et ainfi de suite indéfiniment.

Ce procédé se résume dans la règle suivante :

Formel une suite de nombres commentant par o et i , et doia les suivants soient alternativement, à partir du troisième inclusivement, moyens par différence et moyens par quotient entre le' deux qui les précèdent immédiatement : — cette suite converge sans cesse vers la valeur du rayon d'une circonférence égale à 4-

N. B. — Toutes ces multiplications et extractions de radna carrées doivent être erTecluées d'après les méthodes abrégées que fournit l'Arithmétique (•).

Voici d'ailleurs le tableau des calculs exécutés conformémeni à cette remarque :

(■) Voyez le Triàtê d'Arilhméliqiie de M. Bourdon (i^ édition] celculi relillfi i II déterMloallon du nombre ■, «ont Imlliiiil* • Im ddUili DéceiHirM.

^î4 *'*^* '*• — CHAP. It. — § III.

D'où il résulte que le rapport du diamètre à la circonfémce h ■ * ' — . ■ OU o,3i83og8 ; et le nombre n^ ou le rapport dt

la circonférence au diamètre , a pour valeur

Cette division donne la valeur de ir à moins â*ttne unité pKs du ô*' ordre décimal (^); et si Ton voulait avoir une plus gninlr approximation, il faudrait d^abord calculer R, R% K',... et ^9 '*'f r"y... avec un plus grand nombre de chiffres.

On a, par d'autres méthodes , poussé le calcul jusqu^à t4o ^ cimales. — Voici les vingt premières , qui sont plus que sufBsiDtn pour les usages ordinaires :

tr = 3,14159265358979323846.

11 est quelquefois utile d^avoir son logarithme. — On a

log ir = 0,497^49^^69415385435.

N*> Sllft. — SooLu. — Le nombre ir , exprimé avec cinq décimales seulement, et converti en fraction continue, donne lien aui réduites suivantes :

I » î • I •« > lis' a «4 i » • • • •

La seconde réduite, -^ , dite le rapport d^AacHuiioE, est asseï fréquemment employée , parce qu'elle exprime ir à moins d'» centième près. — La troisième, due à Rivard, est peu usitée, parce que la suivante, qui porte le nom de rapport d'Aoïiv Mi^Tins , donne , avec le même nombre de chiffres , une bien plus grande approximation ; le nombre \j\ diffère de ir de moins d'us millionième, — Il est d'ailleurs facile à retenir , car il s'obtient en partageant en deux tranches de trois chiffres le nombre

ii3 355;

ta partie à droite est le numérateur, et la partie à gauche le th-nomînateur.

(*) Vorez le Trait A d'ArithnuUitfue cité plus h^ul.

iVALUATlON DES ARCS DE CERCLE AU MOYE5 DE n. 225

Enfin, nous observerons que Texpression ^ + ^, récluite

en décimales , donne 3 , i46 . . . ,

nombre qui ne diffère de ir que à* un demi-centième^ c'est-à-dire qae le rapport de la circonférence au diamètre est à très-peu près représenté par la somme des côtés du carré et du triangle équilatérai inscrit dans le cercle dont le rayon est i (n*^ S57, SS8).

Évaluation des arcs de cercle au moyen du nombre te.

On peut mesurer de deux manières un arc de cercle , soit en le rap{>ortant au quadrant pris pour grandeur absolue , auquel cas lare est exprimé en degrés ou en grades (n® iSO)^ soit en cherchant le rapport de cet arc rectifié (n®24l) au rayon pris pour noire.

De là résultent les deux questions suivantes :

PREMliRE QUESTION.

N^ÎW. — Un arc étant évalué en degrés ou en grades, trouver ion rapport avec le rayon.

Remarquons d*abord que ir exprimant le rapport de la circonférence au diamètre 9 ou, ce qui revient au même, celui de la

^mi-circonférence au rayon, - est alors le rapport du quadrant

Qu rayon.

Gela posé, il est clair que, pour évaluer en unités de rayon an arc quelconque A dont on connaît le nombre de degrés ou de

grades, il suffit de multiplier par — le nombre abstrait — (n** iHO)

qui exprime son rapport avec le quadrant; ce qui donne la formule

Il A= — . -.

Rédproquement. Secohde QUEsrioii :

Connaissant le rapport d'un arc A [rectifié] au rayon , trouver

1l6 LÏV. lï. — CHAP. II. *-• § llî.

le nombre de degrés ou de grades qu'il renferme, ou son /n/pt au quadrant.

On déduit de la formule ci-dessus ,

ce qui démontre que, pour obtenir le rapport demandé , il faut diviser le nombre abstrait donné , supposé réduit en décimales, /w la valeur de fr évaluée aussi en décimales , puis convertir [d'après les règles connues de l'Arithmétique] le quotient obtenu en degrés ou en grades y suivant que Ton a adopté la division sexagésimale ou la division centésimale,

Nous donnerons dans le 3" chapitre, des applications de ces deux règles.

Sgolie. — Ces deux règles exigent une modification lorsqne le rayon R de l'arc que l'on considère , n'est pas lui-même pris pour unité : on doit , conformément à ce qui a été dit au n^ SM {scoL II) dans le premier cas, multiplier par R, et dans le second, J/W^^r parKy le résultat auquel on est parvenu ; ce qui donne alors

fn n - m ^ V

A = — .-.R et — =:A:---.

Remarques sur la mesu9v des angles, et sur les rapports des am

décrits avec des rayons différents.

N® MO. — PaxHiiax axma&qus. — On a démontré (n° 119} que l'angle au centre a pour mesure l'arc de cerde compris entre ses côtés, en se fondant sur ce que deux angles au centre sont proportionnels aux arcs qu'ils comprennent, et qu'on suppose décrits avec le même rayon. — Mais on peut se demander quel serait le rapport de deux angles , et par suite , quelle serait la mesure d'un angle, si les arcs étaient décrits avec des rayons différents? Pour résoudre cette question, considérons deux angles quel- Fie. 167. conques AOB, A'OL {fig, 167), que, pour plus de simplicité, nous supposons placés l'un sur l'autre de manière qu'ils aient le

REMARQUAS SUR LES AKGLCS ET SUR LES ARCS. 22n

sommet commun O et les côtés OA, QA\ dans la même direction } soient d'ailleurs AB, A'B'y les arcs décrits avec les rayons OA^ OA', et C le point où Tare A'B' est i*encontré par le côté OB.

Gela posé , les deux angles A'OC, A^OB', correspondant à des arcs A'C, A'B% de même rayon , on a la proportion

A'OC : A'OB' :: arc A'C : an: A'B' (n° 119),

ou , à cause de A'OC = AOB, et de A'OB' = A'OL , AOB : A'OL : : arc A'C : arc A'B'.

Mais les deux secteurs semblables OAB, DA'G, donnent la proportion arc A'C : fl/r AB :: OA' : DA (n».a52);