IO LIV. II. — CHAP. II. — § III

Autashkett: — Les cercles pouvant être considérés comme des polygones réguliers semblables d*un nombre infini de côtés , on peut leur appliquer les deux propriétés du numéro SS4; donc, etc, etc.

N« 2i8. — GoROLLAiKs. ~ La proportion C : C ' : : 2 R : 2R'

peut être mise sous la forme C : 2R : : C : 2R';

et comme on aurait pour un nombre quelconque de circonférences, C : 2R :: c : 2R' :: c" : 2R" :: C : 2R*' ::...,

on peut en conclure que

Le rapport de la circonférence au diamètre est un nombre constant, — quel que soit le cercle que l'on considère.

N® 249. — ScoLiE I. — On désigne ordinairement par ir ce nombre constant , qui joue un très-grand rôle dans toutes les parties des Mathématiques»

C'est ce nombre y ou le rapport de la circonférence au diamètre, dont la dctermindtjon complétera ce paragraphe ; mais on peut prouver dès à présent qu'il est compris entre 3 et 4.

En effet , on sait ( n** 245 ) que — Toute circonférence C est pUs grande que le périmètre de l'hexagone régulier inscrit, et moindre que celui du carré circonscrit.

Or, en désignant le rayon par R , on a 6 R pour le périmètre du premier (n° 257 ), et 8R pour celui du second ; ce qui donne

C > 6R, et C < 8R,

d'où , en divisant par 2 R , et remplaçant — par tt ,

ff>3, et îr<l4î

ainsi le nombre ir est compris entre 3 et 4 ;

N« 250. — ScoLix n. — Soient R , C , et S , le rayon , ladrconférence , et Paire d'un cercle quelconque.

La proportion tt : i :: C : 2R donne C=r 2irR ,

MESURE DU CEEGLE. 2 I i

d'où,enmallipliantpar -IR, CX?R = S = ïrR»;

ce qui démontre que , pour obtenir la longueur de la circonférence, il faut multiplier par le nombre constant tt la longueur du rayon de cette circonférence [ce rayon étant évalué en unités linéaires quelconques]; — quant à Vaire du même cercle^ il faut miUtipUer par fc le carré du rayon,

THioRÂvE III. {Fig. i63.) Fio. i63.

N* 2«Si . — L'aire d'un secteur circulaire OAB est égale à la moitié du produit de /'fl/r AB [ rectifié (n* U^I ) , que Ton nomme sa hasel multiplié par le rayon 0 A,

En effet , il résulte évidemment de la définition du secteur circulaire (ii*> 14 ), que deux secteurs quelconques d'un même cercle soDt proportionnels aux angles , et par conséquent ( n^ 1 18 ) aux arcs qui leur correspondent.

Ainsi y comparant le secteur OAB au secteur OAC qui correspond à Tangle droit, AOC , on a la proportion

secteur OAB : secteur OAC : : arc AB : arc AC ,

ou, multipliant les deux conséquents par49 et désignant par G , S^ U drconférence et l'aire du cercle ,

secteur OÂB : S :: arcAB : €.

Multipliant de nouveau par ^ R les deux derniers termes , on obtient secteur OAB : S :: a/r AB X jR ^ C X t R ; maison a CXiR = S (n«a46)j

donc aussi secteurOAB = a/r AB X ift = t^*^ AB X R;

N. B. — On peut dire encore que — L'aire d'un secteur est égale à celle d'un triangle ayant pour base l'arc [rectîRé] et pour hauteur le rayon du cercle, — ( ^oir le seoUe H du n° !I46. )

Corollaire. — Le segment circulaire ANB (n° 14 ) a pour me^ fure la moitié du produit du rayon OA multiplié par la différence

a 12 Liv. H. — CHAP. II. — § m.

entre Vart AB et la moitié de la corde qui soutend l'are douhk de ÂB.

Car on a segment ANB = secteur OANB — triangle OAB;

or, secteur OANB = -J- are AB X OA , comme on vient de le voir; et, si Ton prend OA pour base du triangle OAB , sa hauteur est alors la perpendiculaire BD abaissée du point B sur OA ,

ce qui donne triangle OAB = ^BB'XOJi (n<>filtf).

Par suite , segment ANB = 7 OA (arc AB — BD] ; mais BD est évidemment ( o? 105 ) la moitié de la corde AB qui soutend Tare BAB' double de BA. Donc, etc.

N° Wlt, — Deux secteurs sont semblables dans des cercles de rayons différents, lorsqu'ils correspondent à un même angle au centre.

Fie. 164. TaioEiME IV. {Flg. i64-)

Les aires de deux secteurs semblables , OAB , OA'B\ sont di^ rectement proportionnelles aux carrés des rayons ou des arcs qui leur servent de bases.

On a en effet

secteur OAB : secteur OA'B' : : a/r AB X 7 OA : «nr A'B ' X t O A' ;

mais les arcs AB, A'B', étant évidemment dans le même rapport que les circonférences auxquelles ils appartiennent, et œlles-ci dans le rapport des rayons OA , OA' ( n^ S47 ) , il en résulte

arc AB : arc A!W .*: OA : O'A',

d'oii fl/r AB X j OA : arc A' B' X 7 OA' : : OA» : 0K'\

Donc aussi

secteur OAB : secteur OA' B' : : OA' : OA", et , par suite ,

secteur OAB : secteur OA'B' :: (arc ABY : (arc MB')"*

ScoLiE I La différence AA'B'B entre les deux secteurs sera-

COMPAILAISOir DES AIRES CIECVLAIRIS. 2l3

biables OAB, OA' B% se nomme un trapèze circulaire. Or y on peut obtenir une expression assez simple de Taire de ce trapèze.

Pour cela, élevons aux points B, B', les tangentes indéfinies BL, B'L', et concevons qu'à partir du point B, on ait développé Tare BA sur la tangente BL , c'est-à-dire qu'on ait pris une partie BK égale à cet arc rectifié; tirons OK, qui rencontre B'L' en K' : je dis d'abord que B'K' représente aussi Tare B'A' rectifié.

Car les triangles semblables OBK , OB^K% et les secteurs OAB, OA'B '9 donnent les deux proportions :

OB : OB' :: bk : b'K',

OB : OB' :: tf/r BA : fl/r B'A', d'où BR : B'K' :: arc BA : arc B'A';

mais BK = arc BA par construction ; donc aussi B' K' = a/vB'A'. Cela posé , les deux secteurs circulaires OAB , OA' B', étant respectivement équivalents aux triangles OBK, OB'K' (n** SISI, N. B.\ il en résulte que le trapèze circulaire AA'B'B est équivalent au trapèze rectiligne KBB'K'.

BK -4- B'K' Mais celui-ci a pour mesure X BB' (n® 91if , corol. 2) ;

j . ..#•»/«« ^^ A>B -h arc A' B , donc trapèze kA!B'h= X BB';

ce qui démontre que — L'aire d'un trapèze circulaire est égale au produit de la demi'Somme de ses bases par la différence des rayons,

N.B. — Il serait d'ailleurs facile de prouver, comme ci-dessus , que la demi-somme des bases [ou la moyenne différentielle entre ces deux bases] n'est autre chose que l'arc A"B" concentrique avec Afi, A'B', et passant par le milieu deBB'.

Sooux n. — La couronne circulaire, c'est-à-dire l'espace com- Fig. i63. pris entre deux circonférences concentriques OB, OB' [fig- 1^3 ) , n'est qu'un cas particulier du trapèze circulaire; et par conséquent &oa aire a pour expression : le produit de la circonférence OB'',

2i4 Liv. II. — CHAP. II. — § m.

moyenne dijfértnticlle entre les circonférences qui la terminent , multipliée par la largeur BB^ [différence des rayons OB, OB' ]. Mais on peut obtenir une autre expression de cette aire : Nommons R et R' les rayons de deux circonférences conoentriques. On a

cour, cire. = cercle R — cercle R',

ou bien cour. cire. = ttR» — irR'» = tr ( R' — R'» ) ( n» KO) ;

mais ir(R» — R'») = ir(R-hR') (R — R');

et si Ton pose la proportion R -h R' : R" : : R" : R — R',» j

a en résulte R"» = (R -f- R') (R ^ R') ,

d'où, par conséquent, cour. cire. = irR"';

donc — L'afre d'une couronne circulaire est égale à celle tTu/i cercle dont le rayon est moyen propoxtiomnel [par quotient] entrr la somme et la différence des rayons des deux circonférences concentriques qui la comprennent , ou bien encore — d'un cercle ayant pour diamètre une corde II' de la plus grande circonférence OB , menée tangentiellement à la plus petite OB' (n" 226 , scoL I).

Il serait d'ailleurs facile de prouver la concordance de ces fleux expressions avec Texpression donnée ci-dessus.

Remarque sur les lignes brisées régulières, ow portions régulières

de polygones.

Fio. i65- N^ 255. — Soit AB [fig. i65) un arc de cercle terminé aux deux rayons OA , OB ; et concevons cet arc divisé en un nombre quelconque de parties égales^ puis tirons les cordes AC, CD,..., des

nouveaux arcs. Nous obtenons ainsi une ligne brisée ACD B, ;

dite régulière, qui, avec les rayons OA, OB, détermine une por- ' tion de plan que nous nommerons secteur polygonal [ par analogie avec le secteur circulaire], et de plus, secteur polygonal régulier, j attendu que ce secteur jouit des propriétés principales des polygones réguliers.

D abord, les côtés AC, CD,..., sont tous égaux (n^ftOB); en outre les triangles OAC, OCD,..., sont égaux et isoscèlesî d^où

LICmES BRXSisS RÉOUUiRES. 2l5

il suit que Us angles au centre, ainsi que les angles à la hase de tous ces triangles, sont égaux; enfin, les perpendiculaires abaissées du centre sur les côtés , sont égales, — Donc le cercle décrit du point 0 avec un rayon égal à Tune de ces perpendiculaires, sera tangent à tous les côtés du secteur polygonal ; et la portion de circonférence, terminée aux rayons OA, OB, pourra être considérée romrae un arc de cercle inscrit à ce secteur.

Chaque triangle, tel que OAC, ayant pœir mesure AC X t ^I » on peut en conclure que — L'aire du secteur polygonal est égaie à la moitié du produit de son périmèire [on de la ligne brisée qui le termine] multiplié par Vapothème , c'est-à-dire par le rayon du cercle inscrit, etc.

Tant que Tare AB sera une partie aliquotc de la circonféreiice OA, le secteur polygonal sera lui-même une partie aliquote d*un certain polygone régulier inscrit à la circonférence entière. Mais comme le rappcj^rt de l'arc à la circonférence est tout à fait quelconque , c^est-à^ire qu*jl peut être incommensurable^ on ne peut pas dire en général, que le secteur correspondant est une portion Je polygone régulier.

Maintenant , par les milieux G , K, . . . , des^arcs AC , CD, . . , , menons des tangentes ; et prolongeons-les jusqu'à leur rencontre en

A', C, , B', avec les rayons OA , OC, . . . , OB [on prouverait fa-

cL'ement que la rencontre a lieu sur ces rayons] : nous obtiendrons ainsi un nouveau secteur polygonal régulier qui sera semblable aa premier comme composé de ttiangles OA'C, OC^D', . . . , semblables aux triangles OAC 9 OCD, ....

Ainsi les périmètres de ces secteurs , ou les lignes brisées régulicrcs qui leur correspondent, sont proportionnelles aux rayons du cercle inscrit et du cercle circonscrit; — et leurs aires sont pro» portîonnelles aux carrés des mêmes ruyons.

Appelons B Taire du secteur polygoftal circcnsorit, P la ligne trisée correspondante , R le rayon du cercle donné , nous aurons

B =r P X ï R , et secteur circulaire OAB = arc AB X 7 R.

Mais ce dernier secteur est évidemment, d'après la figure, moindre que le secteur polygonal. — D'où l'on conclut, à cause dn facteur commun \ R , arc k&<:^ P. "

3i6 uv. II. — ciur. u. — § xn.

D^âîDeure, Varc AB est èsiàesBomeat plus grand que /oiclrligoe brisée inscrite à œt arc.

Donc Varc [rectifié] qui sert de base au secteur drcalaire, est toujours compris y pour sa valeur numérique , emtre les deux iigna brisées.

Enfin, par des raisonnements analogues à ceux du n* SM {voyez la note au bas de la page 206) , on prouverait que

La différence entre Vsax et l'une des deux lignes brisées, 00 bien entre le secteur circulaire et l'un des deux secteurs polygonaux , j peut devenir moindre qu 'aucune grandeur donnée , etc . , etc. ^

Rapport de la circonférence au diamètre.

On démontre par des moyens qui sortent tout à (ait des éléaients, que le nombre tt est incommensurable. Mais il exî^e des mctfaodfe à l'aide desquelles ce nombre peut être calculé avec tout le degrc d^approximation qu'on peut désirer.

Nous nous bornerons à eXposer ici les trois métbod^ élémentaires principales.

Première méthode.

N** %M, — Le premier moyen qui ^e présente à Tosprît consiste à évaluer, pour le cercle dont le rayon est égal à i , d*après la formule (2) du n^ SS5, les côtés des polygones réguliers inscrits dont le nombre des côtés devient de "^ en 7. fois plus grand, en partant d'un des polygones réguliers que Ton sait inscrire et dont on a immédiatement le côté.

Prenons, par exemple, pour point de départ, V hexagone régulier inscrit, dont le côté (u® 257) est égal au rayon.

Il suffit de faire a = R = i dans la formule qi^ vient d'être citée ; ce qui donne a' = y 2 — y/S [</ désignant le nouveau côtél ;

d'où l'on déduit pour le périmètre à\x dodécagone, 12 y a — y 3» et par conséquent pour le rapport de ce périmètre au diamètre,

AAPPOaV DE LA GULCONFiREVCE AU UIAMiTRE. 21 'J

Remplaçant dans la même formule (2) , R par i, a par

fl' = ^2 — ^3 y et AI par «",

on aura à calculer a" = V 2 — ^^ — a'^;

donc le rapport du périmètre du polygone de 24 côtés à son dia-

mètre est 12 V 2 — v^4 — ^*>

et aimi de suite.

On sait d'ailleurs (n^ S4S) que les périmètres de ces polygones approchent de plus tn plus de la circonférence à mesure que le nombre des côtés augmente. Ainsi les expressions ci-dessus [que Ton évalue ordinairement en décimales] donneront des valeurs de plus en plus approchées du nombre' tt.

)Iais, pour apprécier 1^ degré d*approxîmation que donne la valeur relative à chaque polygone y il convient de calculer d*a.]^Tès' la formule (3) du n** 8515, le côté, et par suite, le demi^périmètre da polygone circonscrit semblable à celui auquel on s'est arrêté ; et alors la partie décimale commune ^aux expressions des demi-périmètres du polygone inscrit et du polygone circonscrit , représente la valear de ir avec une approximation marquée par V unité da derlier ordre de cette 'partie [commune.

Seconde méthode,

y 858. — On a démontré (n" 280) que Vaire du cercle qui a R pour rayon, est égale p, ttR*.

Or, si l'on fait R = i ^dans cette'expression , elle se réduit à tt ; ce qui démontre que

ic rapport de la circonférence au diamètre est égal à Vaire du cercle dont le rayon est pris pour unité.

Cela posé, prenons p<)ur point de départ le carré inscrit et le carré circonscrit, dont les aires (n® 858) sont exprimées respectivement par 2 et 4 ; et dans les formules du n** 856,

V = /ÂTb, ^' = 1 — -7/ posons A = 2, B = 4;

2l8 LIV. II. — CHAP. II, — § in.

il vient A'=:v/8, B^ = ^^ ,-= ^ ,- = g(\^3^i)

[on a fait disparaître rirrationalité du dénoninatair]; et ces expressions, réduites en décimales, donneront les yaleiirs des aires de l'octogone inscôt et de l'octogone circonscrit.

Remplaçant dans les mêmes formules , A et B par les expressions qui viennent d'être trouvées pour A' et B', on obdeodra lei aires A" et B" des polygones inscrits et circonscrits de seize côtés; — et ainsi de suite.

, Tïous n'entrerons pas dans d Vitres détails sur cette méthode; et nous observerons seulement que , si l'on évaluait la difTêreDce (B' — A') au moyen de la différence (B — A) , on trouverait

ce qui démontre que, pour un Toupie de polygones inscrit et drconscrit , d'un rang déterminé , Verreur commise est moindre que le quart de l'erreur commise dans le calcul du couple précédent.

(*) Voici le calcul alj^ébriquo :

A+v^Ab a + Vab

oa, multipliant haut et bas par y/BH-y^A,

Or,* rinégalité éîidenie (y/B — ^k )*> o ddnne B -h A — a VÎÏÏ> o; d'où, en ajoutant 4v^, • (v/ÏÏ-hv/Â)'> 4\/ÂB;

donc —^ >4> et par conséquent, ■ — r<T;

donc enfin B' — A' < ^(B — A)i C. Q F. D.

&APPOET DB LA GI&COMFi&BNCE AU DIAMET&B. aiQ

Troisième méthotle,

IV° 9S6. — Au lieu de chercher la valeur approchée d'une circonférence, ou de Taire d'un cercle dont le rayon est égal à i, on peut , an contraire , Chercher la valeur du rayon pour une circonférence donnée, — Cette méthode , que Ton nomme la méthode par les isopérimètres (n® Mfi), est préférable aux deux précédentes, à cause de la simplicité des formules dont elle exige l'emploi.

Elle est fondée sur le lemme suivant :

Lbmmb. [Fig. i66.} FiG. 166.

Étam donnés le rayon R j et l'apothème r, d'un polygone régulier, trouver le rayon R', et l'apothème r', d'un polygone régulipr isopénmétre , d'un nombre double de côtés.

AsALTSK et STHTBisE. — Goustruisous le cercle circonscrit au polygone donné; et soient AB l'un des côtés, AOB l'angle aa centre de ce polygone, OA=:R le rayon, et 0P= r l'apothème.

Gela posé , Tangle au centre du nouveau polygone devant être moitié de Tangle AOB (n^ i35), si nous prolongeons PO jusqu'à sa rencontre en C avec la circonférence , et que nous menions les cordes AC , BC , l'angle ACB , moitié de AOB (n<> tUS), est l'angle dQ nouveau polygone.

De même, si nous abaissons OA' perpendiculaire sur CA, et qne nous menions A'B' parallèle à AB, nous aurons A'B' = 7 AB (&* iS4, scoliel) pour le côté de ce polygone , ainsi que CA% CP', pour son rayon et son apothème.

Tout se réduit donc à déterminer OA' == R', OP' = r'. Or, 1» triangles semblables CAP, CA'P', donnent d'abord

CP' = 4 CP = I (CO -h OP) = |(0A + OP);

donc !•> r'^KR-f-r).

En second lieu , le triangle rectangle OA'C donne (n^ 5103)