AM:MB:: AG':BC

donc la droite MG ' est bissectrice de Tangle supplémentaire MA'. Ainsi (n<* 45, scot, UV) les deux droites GM, G' M sont perpendiculaires entre elles.

Gomme le même raisonnement s'appliquerait à tout autre point M' du lieu cherché , on est en droit d*en conclure que ce lieu est la circonférence décrite sur la droite GG' comme diamètre.

De là résulte la constradion du proUène proposé :

GONSTaUCTION DES LIGNES PROPORTIONNELLES. 243

Après avoir diçisé la droite Afi, au point C, dans le rapport donné m : /i, et déterminé {v^ 964, N, £.) le point conjugué C', déeripez sur CC' comme diamètre une circonférence.

Vous obtiendrez ainsi le lieu de tous les points dont les distances aux points A et B sont entre elles dans le rapport min,

ScoLis. — Ce résultai peut être présenté sous la forme d'un théorème dont voici Ténoncé :

Une droite AB (/ig- i84) étant donnée de ionguearet de posi^ fie. 184. Uon sur un plan , et cette droite étant divisée harmoniquement en deux points, C, C, la circonférence décrite sur la distance CC de ces points j comme diamètre , est le lieu géométrique de tous les points dont les distances aux extrémités de la droite donnée AB , sont entre elles dans un rapport constant , celui de AC à CB.

Quant à la démonstration , elle résulte de l'analyse qui vient d'être exposée , et il est inutile de s'y arrêter.

Problème IX. {Fig. i85.) Fie. i85.

N**874. — Une droite indéfinie LM étant donnée de position , ainsi que deux points A etB^ décrire une circonférence tangente à la droite donnée , et passant par les deux points donnés.

^analyse de ce problème n'offrant aucune difficulté, en voici la synthèse :

Construction. — i** — Prolongez la droite BA jusqu'à sa rencontre en P avec LM, et déterminez (n° 269) une moyenne proportionnelle entre PB et PA ; — 2" — portez cette moyenne proportionnelle de P en C sur LM , et élevez ( n^ 448 } au point C la perpendiculaire CG ; — 3° — élevez par le milieu de AB (n** i 50) Qne perpendiculaire IK à cette droite.

Le point O où les droites CG, IK, se coupent (n° tfO), est le centre du cercle cherché, lequel alors peut être décrit, puisque Ton connaît le rayon OA.

En effet on a, d'après la construction ,