AB : AD :: AD : BD; C, Ç. F. R
F.O. i83. PKOBLiMK vin. [Fig, i83.)
N® 878. — Mener une tangente commune à deux cereies.
Ce problème a déjà été résolu (n® 171) par des consîdéradoiis fondées sur les théories du premier liçre. Mais l'emploi des lignes proportionnelles conduit à une solution fort simple.
AifALTSs. — SupiK)sons le problème résolu, et soient BftN, mur» deux des tangentes, l'une extérieure et l'autre intérieure, rencontrant la ligne des centres OO' en deux points G, G^
11 est clair que, si ces points étaient connus de position, tl
COSST&nCTlOll DBS LIGHE8 PROPOETIONNELLSS. 11^1
soiHrait de mener par chacun d'eux (n** 170) une tangente à Fun des cercles donnés; et cette droite y étant nécessairement tangente à l'autre cercle , le problème serait résolu.
Or, en tirant les rayons OM et O'N, Om et O'n^ nous obtenons évidemment deux couples de triangles semblables OMC et cynCy OmC' et 0'/lC^ qui donnent les proportions
OC :0'c ::OM:0'N, oc':0'C'::OM:D'N.
Mais les rayons OM y O^N , sont des lignes données à priori; on voit donc que les points C et C ne sont autre chose que les points conjugués qui divisent (n** 964, iV. ^.) la distance 00' dans k rapport donné OM : (VN. — De là résulte la construction
suivante :
STKTHisE. — I® — Tracez un diamètre quelconque KO^ du cerde 0, et par le point O' menez {u^ IM) un rayon O'L parallèle à OK; — 2® — Joignez les points K et à au point L.
Les points C, C% où les droites KL, /L , rencontrent la ligne des centres y sont les points cherchés ; car on a (n® 191)
OC : O'C :: om : o'n
€1 OC': O'C'-.lOM-.O'N.
Menez ensuite par chacim de ces points une tangente , soit au eercle O, soit au cercle O' : ces droites seront en même temps tangentes au cercle O' ou O.
Nous renvoyons d'ailleurs au numéro 17 i pour la discussion de ce problème.
PaoBLiMxVm. {Fig. 1B4.) Pic. 184.
N** 275. Deux points AetB étant donnés sur un pian, trouver <M troisième point dont les distances aux points EL et h soient entre dles dans un rapport donné m l n.
Cette question est encore une aq>plication fort simple de la division harmonique des lignes.
AsALTSE. — n est d'abord facile de voir que le problème est y
242 LIV. II. CHAf. III. — § I.
par sa nature , indéterminé , c*est-à-dire qu'il existe sur le plan un nombre infini de points satisfaisant à l'énoncé; — car, ado point A comme centre , avec un rayon arbitraire AM , on décrit une circonférence decercle, et qn>nsuite, du point B comme centre, avec le rayon BM déterminé par le quatrième terme de la proportion m : 71 : : AM : BM , on décrive une seconde circonférence , les 1 deux cercles se couperont en deux points M y N , satisfaisant à l'énoncé. — On reconnaît en outre, par cette construction , qaeces points sont deux à deux situés sur une même perpendiculaire à la droite AX menée par les points donnés A, B, et à une mèK distance de cette droite.
Gela posé , commençons par déterminer sur AB, les deux points G et G S qui remplissent la condition de Ténoncé , ce qui revient à diviser harmoniquement la droite AB dans le rapport m : « (n° 264, iV. B.)\ je dis que la circonférence décrite sur la droite GG', comme diamètre, est/^ lieu de tous les points demandés.
En effet , soit M un point quelconque de ce lieu , et joignons ce point aux points A et B. On a , par hypothèse , la proportion
AM: MB :: Ht : n;
mais on a aussi , par construction ,
