LIV. IZ. — CHAP. III. — § II
SYNTHisK. — Après avoir pris k milieu C de AB, constnùsom (n^ 269) une troisième proportionnelle aux longueurs AB el a; puis portons de C en D la moitié de cette troinème propOTtioDnelle ; élevons enniite la perpendiculaire indéfinie DL.
Cette droite est le lieu géométrique demandé.
N. B. — Comme, d'après l'énoncé, rien n*indique que le carre de la distance MA soît plus grand ou plus petit que le carré deb distance MB, il s'ensuit que si l'on prend à gauche du point C une disunce CD' = CD, et qu'on élève la perpendiculaire D^L', od aura également une solution de la question.
Donc , en dernière analyse , le lieu cherché est le système de deux droites perpendiculaires à la droite AB qui joint les déni points donnés, et menées à une distance du milieu C, égaie à b moitié d'une troisième proportionnelle à cette distance AB et au côté n du carré donné.
ScoLiE. — La propriété exprimée par la relation
MA' — MB' = AD» — BD' = /i'
donne lieu à des conséquences que nous nous proposons de dérelopper dans V Appendice.
Corollaire des deux problèmes précédents :
Deux points étant donnés sur un plan, trowfûrun troiéeme point tel, — i" — que la somme des carrés des distances de ce point aux deux points donnés soit égale à un carré donné; — 2" *— que la différence de ces mêmes carrés soit égale à un autre carré donné,
STNTHisE. •— Construisez (n^ S84) le lieu des points satisfaisant à la première condition, puis (n^ 285) le lien des points satis^ausâot à la seconde.
Les points d'intersection de ces deux lignes géométriques sont tes points demandés.
On obtient ainsi généralement quatre solutions, mais il 7 aiirau lieu à une discussion.
Ceci nous fait voir comment la résolution d'un probl ème déterminé peut quelquefois'^ dépendre de celle de questions indéterminées.
raoBLKMBS numiLriques. sSg
§ III. — Problèmes numériques.
Noos nous bornerons , dans ce paragraphe , aux applications principales , et presque tous les calculs seront faits avec le secours les tables de logarithmes.
Problèmes sur les lignes,
PmOBLÀME I. {Fig. lOO. ) FiG. TOO.
N^ S86. — Étant donnés dans un triangle ABC, deux côtés CA= 8",76, CB = 5»,26, et la perpendiculaire [CD = 4,38] abaissée du sommet de l'angle compris, sur le troisième côté: — trouver ce dernier.
Remarquons d*abord que, pour construire ce problème, il &iidrait , après avoir élevé en un point quelconque D d'une droite indéfinie AX, une perpendiculaire à cette droite, — i** — prendre DG égale à la perpendiculaire donnée ; — 2** — décrire du point C comme centre, avec la longueur CA [qui est donnée], un arc de cercle , lequel couperait AX en un point A ; — 3® — décrire du même point comme centre , avec CB [qui est donné <C CA , mais > CD], un autre arc de cercle, lequel rencontrerait AX en deux points B, B^
Les deux triangles CAB, CAB' satisferaient également à la question. [Foxez d'ailleurs le n** 167.]
Cela posé , la figure donne
AB = AD -h BD, ou AB' = AD — B'^D.
Ainsi tout se réduit à calculer les deux segments AD, BD. Voici le tableau des calculs logarithmiques : On a
AD = \(GA» — CD» = v^{CA -h CD)(CA — CD), ti BD = ^CB' — CD» = v'CCB H- CD)(CB — CD).
a6o 1*1 V. II. — CHAP. III. — § III.
lo CA= 8,76 logi3, 14=1,1185954
CD= 4,38 log 4,38=0,6414741
d'où CA-hCD=i3,i4 alogAi)= 1,7600695
CA — CD= 4,38 losAD=o,88oo347; donc AD= 7,5»4
a» CB = 5,a6 log 9,64=0,9840770
CD= 4,38 log 0,88=1,9444837
d'où CB-f-CD= 9,64 alogBD=o,9i85597
CB— CD= 0,88 logBD=o,464a798; donc BD= 1,9116,
et par coméquent AB=AD +DB =10,4990
et *. AB'=AD -DB'= i^li.
On a donc pour le côté demandé lO^^^So ou 4>67» ^ ^>^' P'^-
Fœ. 100. PaoBLiME U. {F^g- 100.) !
Étant donnés dans un triangle ABC y les côtés CA = 128^,491 AB = 88", et la perpendiculaire, CD = 96™, 45, abaissée da sommet C sur le côté AB : — trouver le troisième côté CB.
En cherchant à construire ce problème, il serait facile de itconnaître qu'il ne peut admettre qWune solution; et le trian^ demandé sera CAB ou CAB% suivant que Ton obtiendra ponr U valeur nuaérique du segment ÀD , un nombre plus pedt ou plus grand que le côté donné AB.
Voici d*abord le calcul relatif à ÀD :
AD=v^CA«— eu* = ^(CA-f-CD) (CA — CD) CA = ia8,49 logaa4,94=a,35ao667 CD= 96,45 log 3a,o4=i,5o569a5
d'où CA-HCD=a74,94 alog AD=3,857759a
CA— CD= 3a,o4 log AD =1,9288796; donc AD =84,8943.
Comme on troaTe AD < AB , c^est le triangle ACB
qui satisfait à la question ; or on a AB =88;
par conséquent, DB = 3,io55.
Quant au calcul de CB, le triangle rectangle CBD donne
CB = V'CD» -h DB» = V(96,45)»-4- (3,io55)%
expression qui ne peut être calculée directement par logarithmes; mais en effectuant les opérations d'après les règles ordinaires, on trouve CB = 96", 5o , à 1 «•» prés.
(tnoBL&ms iraiiiEiQOEs. ag,
PsoBLin ni.
Deux cordes se cowpent dans un cercla; les segments de l'une aUnt respectivement i3« et aS- ; les deux segments de l'autre ,nt entre eux dans le rapport de 4 à t. -on <femande l^^^eur e cette dernière. ■< ■ ■•vr, i
Nommons x et y l«deux s«5pl,ent8de^^^cQrfecl;e^:hée!!i' ma, d'aprèsl'énoDcé.lfs deux équations '
'où , multipliaiit membre à membre ,
,^4Xi3x:.5^^ /4XI3X25 JTs^ "
t par conséquent, xH-jr i..../^^^^^^^
Ainsi la corde cherchée a pour valeur 37'^,47, '^ i""'"" p^s,
Problème IY.
Trouçer en maires la longueur d'un an: de 45» 20', dans un ^^dontle raxon est&^y^, . .
Ona d'abord 45..0' == |g= ^„U ^e^^^;,, .j^, ,^j. fenc (n«a89) a ~ 'i§?J V * v/Tj / ii '34X tt X!5y4^ i: > : •:
Appliquons les lôgarithttifes;* ''i' '" i' . r:-. . :> '•'.
log34 = 1,5314^89 logTT = 0,4971499 , . .
log5,4 = 0,7323938 ' '
Comp. logi35 = 7,8696663
i'où
loga =s o,63oi6889 a = 49^726
a62 LIV. 12. — CHAP. III. — § lil.
DoncTarcrectifié vaut 4*", 27269 à 0,0001 près.
Problèmes sur les aires»
N^ 987. — Nous commencerços par déterminer une expresnoo de Vaîfe d'un tHangle , qui soit facilement calculable par Iog^ ' rithmes et fonction de ses seuls côtés.
Soit ABC {Jlg' 4^) Tè triangle proposé. Nommons a^ &, ^ les côtés respectivement opposés aux angles À , 6 , C ; et désignons par h la hauteur CD , par x la distance AD.
Cela posé y les deux triangles rectangles ACD, BCD donoatt les relations A» 4-^* = ^', /**H-(c — jp)*^a*; d'où 9 en retranchant membre à membre »
2CX — c* :^ 0^ — 11% et x= .
Mais de la relation A' + a?* = 6% on déduit k = ^^' — x-j et en sujbstîtuant dans celle-ci la valeur de se qu'on vient d'obtaûr,
on a A = Y/^«^^^'"^^'^7^'^'===^V46V--(6»+c'--fl7.
h Or Taire du triangle ABC a^ pour valeur c X - ;
donc (1) ABC = | ^4*V—(** 4- <?* — «»)'.
On voit déjà que cette expression ne renferme que les tnà côtés Of b^Cf du. triangle. Mais on peut lui faire subir une tnuisf<x^ mation qui la rende particulièrement propre au calcul logaridi* mique.
Remarquons premièrement que la quantité algébrique
étant la différence de deux carrés , peut se décomposer en ,
(26c -h b* H- c»— a»)(2*<î — ô* — c»-f-fl').
Or le premier de ces deux facteurs revient à (6 + o)> — a >, et pa^ conséquent aussi à (6-+-^-+-«){^-+-<î — «)• '
PEOBliaiBS NUMI&IUQUE8. a63
Le second est la même chose que a^ — {b — r)% et devient égaement [a-^-b — c) (a — A -f- <r).
On a donc 4 ^'^*— (**+ <?'— «')'
'ûsoDS â + ^ + ^=2/» [/» désignant alors le demi-*périniètre]; >fl en déduit successivement
b -{• e — a z=: np — 2a = a(/> — a), fl-f-c — b = 7ip — nb =z 2,{p — b)j a -+- b — e =2/» — 2c =2(/> — c);
.t substituant dans la valeur de ABC ,
ABC = {s/i6MP-^)iP-^)(P-^)^
Ml, en réduisant, (2) ABC = ^p (p — o){p — ^){p — ^)-
Ce qui démontre que, — Connaissant les trois côtés d'un trian- ^Uj pour obtenir l'expression numérique de son aire, il faut,
— 1° — faire la demi-somme des trois côtés; — 2® — retrancher lltenuitivemen^ tle cette ^mi-somme chacun des trois côtés;
— 3" — fairv le produit de la demi-somme et des trois différences;
— 4* — enfin, — extraire la racine carrée de ce produit.
Cette expression est d'ailleurs calculable par logarithmes, et vous allons en faire luie application.
Soient ^ = 4"'>25, 6 = 6,84, ^ = 9j47«
Tableau du calcul»
a= 4t35 ^=io,q8 p=io,qS pzszlO^oS
6= 6,84 «= 4,a5 ft= 6,84 ^= 9,47
*=9»47^ p^a= 6,o3 p^b== 3,44 ;»-€= 0,81 <4-*-hc=ao,56;
*iouc p=io,a8.
lo^p = log 10,28 = 1,01199311
log (fi — a) =? log 6,o3 = 0,78031731
log { ;» — 6) = log 3,44 = 0,53655844
log(;» — e) =s log 0,81 = 1,90848503
a log ABC = 2,23735388 log ABC = i,ii8(]g694 '^'••»*^ ABC = i3«"*l ,14^4 à 0,0001 près-
264 l'IV. II. CHAP. III. § 11;.
Scoux. — On a trouvé (n*** ^iS, SI7), pour ))»expre9iîoiisdes rayons r, r' du cercle inscrit et du oerde drconscrit à un tnangle,
2^ , abc
\$ étant l'aire du triangle].
On a par conséquent
^ ^)Jp{p^a){p^b){p--c) ^ abc
a^b-^ç • ^>lp{p-a)(p-b){p-^:
pour les valeurs de r, /^, exprimées au moyen des trois côtés senlement; et ces valeurs sont aussi calculables par logarithmes. Reprenons la résolution des problèmes.
PaOBLBMK V.
N^ 288. — Lee trois côtés d'an triangle sont entre m : : 3:4*5;^/ son aire vaut 24*^ : — on demande les longueurs à ces côtés.
On a, d'après l'énoncé ,
a = \c, b = |cj d'où :ip=^c, />=fi?, p—a=\cj p^b=z^c, p--c=z\c. Appliquant la formule (2) du n° S87 , il vient
2S. ?fil ce qui donne c^ =r — ^— î = loo et c = 10.
Donc «=-J.io = 6, ^ = |.io = 8.
Ainsi les trois côtés sont 6", 8°^ et 10™.
N, B. — Le triangle est rectangle ; car on a 6' -h 8' = 10'.
PaOBL]BME VI.
Étant donné le côté o™ , aS d*un carré, trouver le côté c d'un triangle équi latéral équivalent à ce carré»
PAOBLÀMBS NOMiElQUmS. 265
La formule (a) du n^ 987 devient
'où y en prenant les logarithmes ,
a log c == log 4 + a log o^aS + comp. j- log 3. Or log 4 = o»6o2o5gg9
2 log 0,25 = 2,79588002
eomp.^\ùg3 ^ 9,76143938
2 loge = 7,15937939
log c = 7,57968969
c = 0^,37994, à 0,00001 près.
'où
PaoBLiKB Vn.
On demande le nombre de rouleaux de papier qu'il faut em^ loyer pour tapisser une pièce rectangulaire qui a i5"*,76 de Ion-aeur, 8^,24 de largeur, La hauteur de Vappartement est de Tfi^\ mais celle du lambris est égale à 0^,37. Enfin chaque wleau de papier a une longueur de 10 mètres, et la largeur du ^pierestdeo^fi.
Observons d'abord que la hauteur de la partie qui doit être ipissée est de 4">87 — o™,37, ou de 4">5o.
Cela posé, on a, Pune part, 2 rectangles de 1 5*^,76 de base sur 4*^950 de hauteur;
ce qui kit i5,76 X 9 = i4ï"'**',84;
Vautre part, 2 rectangles de 8"*,24 de buse sur
4*,5o^e hauteur; ce qui donne 8,24 X 9 = 74"**'*>i6; linsi la superficie totale à tapisser est de 2 ifr^-^i- ,00 .
Divisant 216 par 0,6 , largeur du papier, on trouve 36o mètres Ml 36 rouleaux de 10 mètres.
Vérification.
Le contour de la salle = ( 1 5,76 4- 8,24 j X 2 = 48 mètres.
206 LIV. U. — CHAF. 111. — § III.
Or ^ 48 : o,6 = 8o;
donc il faut 8o largeurs de papier ^ et par conséquent 8o X 4^^ on 36o mètres, ou bien enfin 36 rouleaux à lo mètres de longueur chacun.
FkG. 104. PEOBLixB yni. ( Fig. 1 24. }
Étant donnés les trois côtés d'im triangle ABC [AB = £=35", AC = ô = 3o", BC = a = 28"!, partqger ce triangle en deux parties équivalentes par une droite 'Sf'C parallèle au petit côté.
Prenons pour Tinconnue du problème àHSk" = x. On a (n*' WS
ABC : AB^C" :: ab» : ab"» :: c» : x> ;: » : ij
d'où x^ = -yc* et X = |cy2}
ce qui prouve que la valeur de x est indépendante des deux autre côtés a^ by du triangle.
Remplaçant dans cette valeur, c par 35, on trouve
X = I35v/sî = 24,748.
PaOBLiMB IX.
Calculer l'aire S d'un octogone régulier dont lec6té\c\ a pour valeur oi^ y ^.
Soient r et r' le rayon et l'apothème de cet octogone; on a les deux égalités
(1) S = 4rr' et r' = v^H — |c«,
iVoii Ton voit que pour obtenir S il suffirait de connaître /-.
Or, si Ton désigne par C le côté du carré inscrit correq>ondaDt au polygone dont c est le côté, on a {nP ll5tf)
c» = 2r» — r^4r* — C^j égalité qui devient , à cause de C = 2r ' (n<> 958), r' = 2r» — r'^a = r»(2 — ^);
d'où Ton tire r' = p = yc» (2 -h y^)-
PaOBLiMXS NUMiEXQUKS. 267
Substituant celte valeur de H dans la seconde des deux relations (1)9 on obtient
r' = y/ic'(2 H- ^) — |c» = |cV3H-a^.
Donc S = 2c»\/^3 4- V^ = 2(o,25)'V3 -*- 2^^
00 , appliquant les logarithmes,
log S =: loga -h 2 log(Oy25) 4- Tlog(3 -h 2^).
Or 2^ = ^2^2 = v/8 = 2,8284;
d où 3 4- 2^/2 = 5,8284.
Gela posé, log 2 = o,3oio3oo,
2 log 0,25 = 2,7968800 (n®!l88,^/t>*tôOTtf VI), I log 5,8284 = 0,3827746,
logS = 7,4796846.
Donc enfin S = o'',3oi777,ài millim, carré près.
N. B. — On aurait pu simplifier ce calcul en remarquant que
3 4- 2^ est le carré de i + V^; d'où y^ -h 2^^= i 4- ^. Ainsi la formule logarithmique deviendrait
logS = log2 4- 2 ]og(o,25) 4- T l<>g (i -H V^)f
c*estrà-dire qu'il suffirait d'extraire d'abord la racine carrée de 2 et d'ajouter i au résultat, afin d'obtenir i 4- V^«
Problèmes sur les figures circulaires.
PaoBubiB X.
N<> 5189. — Étant donnée l'aire d'un cercle égal à 33'°''I-,i830| trowerson rayon (r).
On a irr' == 33,i83o (n» SilO);
doù, en appliquant les logarithmes,
2 log r = log 33,i83o + comp. log tt,
