LIVRE I

Soient les deux triangles ABC^ DEF^ tels que

AB = DE, BG = EF , et l'angle B = Tangle E.

Ces deux triangles sont égaux.

Pour le démontrer, transpoi*tant le triangle DEF sur ABC, je place le côté EF sur son égal BG, le point E en B, et le point F en G ; EF étant sur BG, puisque Tangle E = l'angle B, le côté ED prend de lui-même la direction BA à partir de B, et conmie ED = BA, le point D arrive justement en A (*). Mais D étant en A, et le point F en G, le côté FD coïncide dans toute son étendue avec GA (2). Les deux triangles ABC, DEF, coïncidant dans toutes leurs parties, sont égaux.

Tliéorèine.

50. Deux triangles sont égaux quand ils ont un côté égal adjacent à deux angles égaux.

Soient les deux triangles ABC , DEF, tels que BG = EF, Tangle B=:E, rangleG=F; ces deux triangles sont égaux.

Pour le démontrer, transportant le triangle DEF sur ABC , je place le côté EF sur son égal BG , le point E en B, et le point F en G; le côté EF coïncidant avec BG, puisque Tangle E= l'angle B, le côté ED prend de lui-môme la direction BA à partir de B, et le point D tombe quelque part sur BA ou sur son prolongement; mais l'angle F étant aussi égal à Tangle G, le côté FD prend la

(*) ]1 est éyident que EF étant sur BC , si ED tombait ailleurs que sur BA , à droite ou à gauche , c'est que Tangle Ë serait plus petit ou plus grand que Tangle A; ce qui n'est pas.

direction CA et le point D tombe quelque part sur GA. Le point D, une fois placé . doit donc se trouver à la fois sur les deux lignes BA et CA; il ne peut tomber ailleurs qu'au point A, qui est le seul point commun à ces deux lignes. Le point D étant en A, comme déjà le point E est en B , et le point F en C , le côté ED coïncide exactement avec BA et FD avec GA. Les deux triangles ABG, DEF, coïncidant dans toutes leurs parties, sont égaux.

Pour démontrer le troisième cas d'égalité des triangles, on s'appuie sur la proposition suivante :

Tltéorème.

31. Si deux côtés d'un triangle sont égaux chacun à chacun, à deux calés d'un autre triangle , si en même temps l'angle compris par les premiers côtés est plus grand que V angle compris par les seconds , le troisième côté du premier triangle est plus grand que le troisième côté du second.

Soient les deux triangles ABG, DEF tels que AB = DE, AC=DF, et Fangle BAC>EDF;

je dis que le côté BG est plus grand que EF.

Pour le démontrer, transportant le triangle DEF sur ABG, je place le côté DE sur son égal AB, le point D en A et le point E en B ; Fangle EDF étant plus petit que BAG , le second côté DF prend dans Tintérieur de BAG la position AI , et le troisième côté EF la position BL EF étant devenu BI , il suffira de prouver que BG est plus grand que BI ; pour cela, je divise Tangle lAG en deux parties égales par la ligne AO que je termine au point sur BG ; puis je tire 10. Les deux triangles lAO, OAG ont un angle égal , lAO = OAG (par construction) , compris entre deux côtés égaux ,