LIVRE

i^^ savoir AO commun, et AI = DF = BC; ces deux triangles sont £ donc égaux (29); d'où on conclut que OC=OI. Cela posé, dans le ï( triangle BOI on a BI < BO + 01 ; si dans cette inégalité nous remplaçons la ligne 01 par son égale OC, nous avons BI < BO + OC , : ou BI < BC. Mais BI = EF donc EF < BC , ou BC> EF. Ce qu'il . fallait démontrer.

La réciproque du théorème précédent est vraie :

Tltëorème.

52. Si deux côtés d'un triangle sont égaux à deux côtés d^un autre triangle ; si en même temps le troisième côté du premier est plus grand que le troisième côté du second, P angle opposé d ce troisième côté dans le premier triangle est plus grand que l'angle opposé au troisième côté du second.

Par ex. : AB=DE, AC = DF, et BC > EF (figure précédente); je dis que l'angle BAC est plus grand que l'angle D. En effet, si l'angle BAC n'était pas plus grand que D, il serait égal àD ou plus petit que lui. Si l'angle BAC était égal à D, comme déjà AB = DE et AC = DF, les triangles BAC, EDF seraient égaux (1" cas d'égalité), et on devrait avoir BC = EF, ce qui n'est pas. Si l'angle BAC était plus petit queD, à cause de AB==DE, et AC=DF, on serait dans le cas du théorème précédent, et l'on devrait avoir BC <EF, ce qui n'est pas. L'angle BAC ne pouvant être ni égal à l'angle D, ni plus petit que lui, est plus grand.

55. Deux triangles qui ont les trois côtés égaux, chacun à chacun, sont égaux.

Soient les deux triangles ABC, DEF tels que AB = DE, AC=DF, BC=rEF; ces deux triangles sont égaux. Cette égalité serait démontrée si on avait l'angle A = l'angle D ; car on rentrerait

alors dans le premier cas d^égalité. Or l'angle A est bien égal à Fangle D; car si cela n'était pas , on aurait A > D ou A < D. Si A était plus grand que D, comme AB = DE et AC = DF, on devrait avoir, d'après le n* 31 , BG> EF, ce qui n'est pas, puisque BG =EF. Si A était plus petit que D, on devrait avoir toujours, d'après le même théorème précédent, BC<EF; ce qui n'est pas. Puisque l'angle A ne peut être ni plus grand ni plus petit que l'angle D, il faut bien que ces deux angles soient égaux. D'où il résulte que nos deux triangles ABC, DEF sont égaux (!•' cas).

34. Remarque. Dans deux triangles égaux, les angles égaux A et D sont opposés à des côtés égaux BC, EF, et réciproquement.

Cette remarque s'applique à deux triangles reconnus égaux, quel que soit le cas d'égalité, puisque ces triangles coïncident dans toutes leurs parties; eUe est très-importante.

Propriétés des triangles isocèles.

TAiéorème.

38. Dans un triangle isocèle, les angles opposés aux côtés égaux sont égaux.

j^ Soit le triangle isocèle ABC, tel que

. AB=AC; je dis que l'angle B = ran-

\ gle G. Pour le démontrer, je joins le

\ point A au milieu, D, de BC. Je forme

\ ainsi deux triangles ABD, ADG qui ont

! \c les trois côtés égaux; savoir AD commun ; AB = AG par hypothèse, et BD = DG, par construction; les triangles ABD, ADG sont donc égaux. On conclut de là que l'angle B de l'un, opposé à AD, est égal à l'angle G, de l'autre opposé au même côté AD; B = G; c'est ce qu'il faut démontrer.

36. Remarque. Dans un triangle isocèle, on donne particulièrement le nom de hase au côté qui n'est pas égal à l'un des deux autres 5 et le nom de sommet du triangle au sommet de l'angle

(*) Nous verrons plus tard que dans un triangle non Isocèle le nom de haie peut être donné à Tun quelconque des côtés ; mais alors le sommet du triangle est le sommet de l'angle opposé à ce o6té.