DES PERPENDICULAIRES ET DES OBLIQUES A UN PLAN

228. DÉFINITION. Une droite est perpendiculaire à un plan quand elle est perpendiculaire à toutes les droites qui passent par son pied dans le plan; réciproquement le plan est perpendiculaire' à la droite.

Le pied d^une perpendiculaire est le point où elle rencontre le plan.

Tltéorèine.

229. Si une droite AB est perpendiculaire à deux autres BC, BD, qui passent par son pied dans un plan MN, elle est perpendiculaire à ce plan.

Le théorème sera démontré si nous prouvons que AB est perpendiculaire à toute autre droite, BE, menée par son pied dans le plan MN.

Pour cela, menons dans ce plan une ligne CED qui coupe les trois lignes BG, BD, BE; prolongeons AB d'une longueur BA' = BA, puis tirons AC, AE, AD, A'G, AE, A'D. Dans le plan ACA A^ les deux lignes CA, CA' sont deux obli-

ques à la droite ABA', s'éloignant également du pied de la perpendiculaire CB; donc GA = GA' ; on a de même, dans le plan ADA', Toblique DA =DA'. Les deux triangles AGD, A'GD, qui ont déjà un côté commun CD, ont donc les trois côtés égaux. Nous pouvons les faire coïncider en faisant tourner A'GD, autour de CD comme charnière, pour le rabattre sur AGD. Gela fait, le point E n'ayant pas bougé, et A' étant venu en A, EA' coïncide avec EA ; EÀ' étant égal à EA^ le triangle AEA' est isocèle , et la

ligne EB qui va du sommet au milieu de la base^ AA'^ est perpendiculaire à cette base (n° 36). Réciproquement ABA' est perpendiculaire àBE^ donc elle est perpendiculaire au plan MN. G. Q. F.D.

Tltéorèine*

230. Par un point donné y on peut toujours faire passer une perpendiculaire à un plan donné; mais on n*en peut faire passer qu'une.

Je prends une droite AB^ fig. (1); je &is passer par cette ligne (0 deux plans quelconques ABC, ABD, et je mène dans ces plans deux perpendiculaires BC , BD à AB ; ces lignes BC, BD déterminent un plan CBD, perpendiculaire à AB (n^* 229). Cela fait, si le point donné est un point B du plan MN, fig. (2), transportant la figure ABCD que je viens de former, je pose le plan CED sur le plan MN, de manière que le point B de CBD coïncide avec le point B de MN. La ligne AB perpendiculaire aux lignes BG, (2) BD est perpendiculaire au plan MN qui con-

A tient maintenant les deux droites.

Si le point donné est un point A situé hors du plan MN, ayant posé le plan CBD sur le plan MN, je le fais glisser sur ce plan de manière que la ligne AB de la figure BACD vienne IJ passer par le point donné A; ce qui évidemnjent est toujours possible ; il passe alors par ce point donné A une perpendiculaire AB au plan MN.

251. Par un point donné on ne peut faire passer qu'une perpendicfdaire à un plan donné.

Le point donné B peut être sur le plan donné; supposons que .}, • I ç par ce point B il passe deux perpendi-

culaires BA, BG au plan MN; le plan ABC de ces deux lignes (n" 22) coupe le plan MN suivant une droite BD; AB i ~5 \ étant perpendiculaire au plan MN, est

perpendiculaire à la ligne BD qui passe par son pied dans ce plan; par la mène