LIVRE V

raison CB est aussi perpendiculaire sur BD; dans le même plan ABGD il y aurait donc, au même point B^ deux perpendiculaires sur la même droite BD; ce qui est impossible. Il est donc également

impossible qu'il passe par le point B deux perpendiculaires au plan MN.

Le point donné A peut être situé hors du plan donné M N ; supposons qu'il passe par ce point A deux perpendiculaires AB, AC au plan MN; tirons BC. Dans le triangle ABC il y aurait deux angles droits B et C; ce qui est impossible.

Tltéorèine*

252. Par un point donné on peut toujours mener un plan per^ pendtculatre à une droite donnée; mais on n'en peut faire passer

qu'un.

Le point donné C peut être sur la droite donnée AB. Je mène par la droite AB deux plans quelconques, et dans ces plans deux perpendiculaires CD, CF à la droite AB; ces deux lignes CD, CF déterminent un plan DCF (ou MN) qui est évidemment perpendiculaire à la droite AB (n** 229).

Par le point donné G on ne peut mener qu'un plan perpendiculaire à AB. En eflfet , supposons qu'on en puisse mener deux, MN,MP; par AB je fais passer un troisième plan quelconque, qui coupe les plans MF, MN suivant les lignes CE, CD; AB perpendiculaire au plan MF est perpendiculaire à CE; puis de même à CD du plan MN.

Dans le même plan ACDE, il y aurait donc au même point C deux perpendiculaires à la même droite AB, ce qui est impossible; il est donc également impossible que deux plans perpendiculaires à AB passent par le même point C.

U point donné G peut être en dehors de la droite donnée AB.

Daus ce cas je mène dans le plan GÂB une perpendiculaire CD sur AB; puis faisant passer un deuxième plan quelconque par AB, je mène dans ce pJan DE perpendiculaire à AB ; le plan EDC (GN) est perpendiculaire à AB (n*» 229).

Par le point donné G on ne peut mener qu'un plan CN perpendiculaire à AB. En effet, un second plan perpendiculaire (CM) ne pourrait rencontrer AB au point D (2^ cas) ; supposons qu'il rencontre cette ligne au point I. La ligne AB étant perpendiculaire aux deux droites IC, ID, le triangle CID aurait deux angles droits, ce qui est impossible.

Tliéorèine.

235. Toutes les perpendiculaires GG, OD, OE, 01, menées à la même droite AB, par un même point de cette lignCy sont dans un même plan.

En effet, OC, OD déterminent un plan COD perpendiculaire à A AB (n'» 229) ; OE , 01 déterminent un plan

EOl également perpendiculaire à AB. Les deux plans COD, EOI sont un seul et même plan; sans quoi il passerait par le point deux plans perpendiculaires à la droite AB, ce que nous venons de démontrer impossible.

234. Corollaire. Si des lignes égales AC, AD, AE, AI forment avec la même ligne AB des angles égaifx GAB, DAB, etc., leurs extrémités C, D, E, I sont sur une même circonférence de cercle dont le plan est perpendiculaire à AB.

J'abaisse GO perpendiculaire à AB; puis je tire OD, OE, 01; tous les triangles CAO, DAO, etc., sont égaux (n"^ 29); par^suite les angles AOD, AOE, AOI sont droits comme AOC; on rentre dans le cas du théorème précédent. D'ailleurs OI=OE=:OD=rOC j donc, etc.