LIVRE VII

Les arcs de grands cercles PA, PB, PC, etc., qui passent par le pôle P d'un cercle ABC et les divers points de sa circonférence, sont égaux, puisque leurs cordes sont égales. Si on considère un grand cercle DEF dont les pôles sont P et P', on peut remarquer, à cause de PO=:OF, que Tare PD=P'D; PDF étant une demi-circonférence. Tare PD est un quadrant.

Les arcs de grands cercles y qui vont du pôle d^un grand cercle aux divers points de sa circonférence y sont des quadrants.

Pour un petit cercle, à cause de PI<1P', Tare AP<AP'. AP n'est pas un quadrant , AP' non plus.

33Si. Remarque. Si lés arcs qui joignent un point P de la sphère à deux points d'un arc de grand cercle, DEF, sont des quadrants, ce point P est le pôle de DEF.

En efifet, si on tire OD, OE, on voit que les angles POD, POE sont droits; doncP est l'extrémité du dianiètre perpendiculaire au plan du cercle DEF; c'est un des pôles de ce cercle.

335, Les propriétés des pôles permettent de tracer , sur une sphère, des arcs de petits cercles ou de grands cercles avec la même facilité qu'on trace des circonférences sur un plan.

On emploie à cet efifet un compas, appelé compas sphérique, disposé de telle sorte que ses pointes peuvent être inclinées Tune vers Taiitre sous un angle quelconque. L'une de ces pointes étant maintenue fixe au point P de la surface d'une sphère {fig, précéd.), l'autre, posée d'abord au point A, décrit, en tournant sur cette surface, unecirconférence de cercle. En efifet, on peut concevoir une seconde sphère dont lé centre serait le point P et le rayon PA; tous les points de la courbe ABC appartiennent à la surface de cette seconde sphère; cette courbe ABC est donc l'intersection de la sphère proposée et de cette sphère PA; ABC est donc une circonférence de cercle dont le plan est perpendiculaire au rayon OP, dont le centre est sur cette ligne, et qui a le point P pour pôle (n** 328).

On a vu que l'arc de grand cercle qui va du pôle d'un grand cercle à sa circonférence, est un quadrant, et qu'il n'en est ainsi que pour les grands cercles.

Pour décrire un grand cercle, d'un point donné P de la sphère comme pôle, il suffit donc de donner au compas sphérique une

ouverture égale à la corde d'un quadrant de grand cercle. Pour connaître cette corde, il faut connaître le rayon de la sphère.

Problème.

354. Etant donnée une sphère solide, construire son rayon. On prend deux points, A,B, à volonté, sur la sui'foce de la

sphère ; du point A comme pôle avec une ouverture de compas sphérique quelconque, on décrit un arc de cercle ; du point B avec la même ouverture de compas, un second arc de cercle qui coupe le premier en D. On répète deux fois la même construction en changeant d'ouverture de compas; ce qui fournit deux autres points Ë,F, dont chacun est, comme le point D, égalemeut distant des points A et B. Gela fait, oo mesure avec le compas sphérique les trois distances rectilignes DE, DF, EF; on construit, sur un plan, un triangle ayant ces trois longueurs pour côtés; enfin on détermine le rayon du cercle circonscrit à ce triangle; ce rayon O'D est celui de la sphère.

En effet, les points D, E, F, également distants des points A et B, appartiennent au plan perpendiculaire à la ligne AB en son milieu f) ; ce plan passe par le centre de la sphère (point éga-

(*) Théorème. Le lieu géométrique de tous les points de Vespace égale" ment distants de deux points A, B est le plan MN perpendiGulaire à la ligne AB, en son milieu G.

1" Tout point C du plan MN est également distant dé X et B ; CA = CB. En

cfTet, tirons CI; AB perpendiculaire au plan MN, est perpendiculaire à Cl; donc GA=GB (obUqueg l'écartant également du pied de la perpenduculaire).

2" Tout point D , situé en dehors du plan MN , est inégalement distant de A et B. L'une des lignes DA, DB, rencontre le plan MN en un point C; tirons CBî on a GB=CA; puis DB< DC -f GB, ou DB< DG+GA, ouDB<DA. G. Q. F. D.

Tout les points de l'espace également distants de A

et de B sont donc sur le plan MN.