LIVRE VII

grand cercle. En effet, par ces deux points et par Je centre 0, on peut mener un plan , mais on n'en peut mener qu'un.

Supposons les deux points A et G ( n» 323 ) situés à Textrémité d'un diamètre; par la ligne droite AOG on peut faire passer une infinité de plans qui coupent tous la sphère suivant des grands cercles.

Mais il faut trois points sur la surface d'une sphère pour déterminer un petit cercle,

Tltéorèine.

5Î47. Tout plan perpendictdaire à Vextrémité d'un rayon de la sphère est tangent à celle-ci.

Je joins un point quelconque, B, du plan au centre de la

sphère; Toblique OB est plus longue que la perpendiculaire OA. Tout point B du plan, autre que le point A, se trouvant à une distance du centre plus grande que le rayon, OA, est situé hors de la sphère. Le plan MN, n'ayant que le point A commun avec la sphère, est tangent à celle-ci.

Réciproquement , tout plan tangent est perpendiculaire au rayon qui va au point de contact. En effet, supposons le plan MN tangent à la sphère au point A; joignons le centre à un autre point B quelconque de ce plan. La ligne OB qui sort de la sphère est plus longue que le rayon OA; OA étant la plus courte ligne que Ton puisse mener du point sur le plan MN, est la perpendiculaire menée de sur ce plan.

Corollaire. Par un point donné sur la sphère^ on ne lui peut mener qu'un seul plan tangent. Car si on en pouvait mener deux, il y aurait deux plans perpendiculaires à un rayon au même point.

Vliéorème*

328. L'intersection de deux sphères est une circonférence dont le plan est perpendiculaire à la ligne qui joint leurs centres, et dont le centre est sur cette ligne.

Imaginons un plan qui passe par la ligne des cenkes, OCy; ce

plan coupe les deux sphères suivant deux grands cercles AMB^ CND. On peut maintenant supposer les deux sphères engendrées par la révolution des deux demi-cercles AMB, CND qui tourneraient simultanément autour de la ligne AOCyO. Dans ce mouvement, le point F reste constamment commun aux deux lignes mobiles^ et c'est le seul qui leur soit conmiun; la ligne que décrit ce point F est évidemment la ligne suivant laquelle se coupent les surfaces des deux sphères. Or cette courbe est plane, puisque la ligne FI ne cesse pas, en tournant, d'être perpendiculaire à Taxe AD (n** 233); et c'est une cbconférence, puisque toutes les positions du point mobile sont à la même distance, IF^ du point I. L'intersection des deux sphères est donc une circonférence de rayon IF, dont le plan est perpendiculaire à la ligne des centres, 00', et dont le centre I est sur cette ligne. C. Q. F. D. 329. Remarque. En considérant deux circonférences dans les diverses positions relatives indiquées n® 102, livre H, et les faisant tourner autour de la ligne des centres, on obtient des sphères dont les positions relatives sont tout à fait analogues à celles des circonférences. Les relations entre leurs rayons et la distance des centres sont donc, suivant les cas^ exactement les mêmes que pour les circonférences.

Deux sphères sont dites tangentes quand elles n'ont qu^un point de commun. Ce point, qui se trouve sur la ligne des centres^ se nomme point de contact.

530. Des pôles. On nomme pôle d'un cercle de la sphère les extrémités du diamètre de la sphère perpendiculaire au plan de ce cercle.

531. Tous les points de la circonférence d'un cercle de la sphère sont également distants de chacun des pôles P, P' de ce cercle.

En efifet, les droites PA, PB, PC, etc., qui joignent le pôle P aux divers points de la circonférence ABC, sont des obliques égales; car elles s'écartent également du pied de la perpendiculaire PI . (lA = IB = IC). On a de même P'A=FB = PU r