Inscrivons dans un demi-cercle un demi-polygone ABGD

et faisons tourner la figure autour du diamètre AF, comme axe. Tandis que la demicirconférence décrit la surface d'unejsphère, le contour polygonal décrit une surface courbe, que nous appellerons surface polygonale , à cause de la nature de sa génératrice. Quand le nombre des côtés du contour polygonal augmente indéfiniment, ces côtés devenant infiniment petits, à mesure que le contour polygonal se rapproche de la circonférence, la surface polygonale se rapproche de la surface sphérique. On admet comme évident que, si le nombre des côtés du contour polygonal devenait suflSsamment grand, la diflTérence entre la surface polygonale et celle de la sphère serait moindre qu'une quantité donnée. En d'autres termes :

336. DÉFINITION. La surface (Tune sphère est la limite vers la-quelle tend la surface décrite par une ligne polygonale inscrite dans un demi-cercle, qui fait une révolution autour d^un de ses diamètres, quand le nombre des côtés de cette ligne polygonale augmente indéfiniment y ces côtés devenant infiniment petits.

Dans cette révolution du demi-cercle autour de son diamètre, AF, le demi-polygone engendre un certain solide que nous appellerons, pour abréger, solide polygonal. Si le nombre des côtés augmente indéfiniment, le volume de ce solide polygonal se rapproche de côluî de la sphère. Les mêmes considérations que précédemment conduisent à cette définition :

337. Le volume d'une sphère est la limite vers laquelle tend le volume engendré par un demi-polygone inscrit dans un demi-cercle qui fait une révolution autour de son diamètre comme axe.

Nous sommes donc conduits à chercher la mesure de la surface

polygonale et du volume polygonal dont nous venons d'indiquer la génération.

Pour plus de simplicité, nous supposerons que les côtés du contour polygonal sont égaux entre eux; ce contour est alors ce qu'on appelle une ligne polygonale régulière. Afin de pouvoir mesurer certaines parties de la surface de la sphère, nous mesurerons la surface engendrée par un nombre quelconque de cordes inscrites égales entre elles; de même pour le volume.

Vltéorème*

538. La surface engendrée par la révolution d'une ligne polygonale régulière tournant autour d'un diamètre , AF, du cercle circonscrit y est égale à la circonférence du cercle inscrit, cire. 01, multipliée par la projection de la ligne polygonale sur Vaxe.

Ex . : surface ABCDE = cire. 01 X AE'.

Les côtés de la ligne polygonale, quel qu'en soit le nombre, ne

peuvent avoir que Tune de ces positions :

être adjacents à l'axe, conmie AB; non adjacents à l'axe , sans lui être parallèles , comme BC; parallèles à l'axe, comme CD.

kV ^ êrb "Î)' Jî Nous allons déterminer la surface engendrée

par un côté dans chacune de ces positions.

!• La surface décrite par AB, que nous appellerons sur£ AB, est celle du cône engendré par la révolution du triangle rectangle ABB' autour de AB'; on a donc (n» 320) ,

AB surf. AB = 2it . BB' X -^ . = 2icBB' X AI. (1)

Cela posé, observons que les triangles rectangles, ABB', OIA, ayant un angle aigu. A, commun, sont semblables; on déduit

BB' AB' de là régalité de rapports Tjf = -tt-J à!o\x on tire BB'X AI =

OIxAB'; remplaçant dans l'égalité (1) BB'X AI par OIxAB', on trouve

surf. AB = 2it01 X AB',