LIVRE VII
c^estrà-dire la surface du cercle inscrit multipliée par la projection, AB', de la ligne AB sur Taxe.
2® La surface décrite par BG est celle du tronc de cône engendré par la révolution du trapèze BGCB' autour de B'C; le point I est le milieu de BC; on a donc (n° 321),
surf.BC = a7t.fflXBGn. (2)
Gela posé, après avoir mené BK, parallèle et égale à B'G', nous remarquons que les triangles BGK, OIH sont semblables comme ayant les côtés respectivement perpendiculaires; d'où on déduit
BC BK . l'égalité de rapports 7rf = -™ ; d'où résulte BGxIH==OIxBK=
01 lU
OIxB'G'. Si nous remplaçons dans Tégalité (2) BGxIH par OIxB'G', nous trouvons surf.BG = 2icOIxB'G'; ce qui est bien la mesure annoncée.
3® Considérons la surface décrite par le côté GD parallèle à Taxe ; c'est la surface du cylindre engendré par la révolution du rectangle GDD'G' autour de GD'; on sait que cette surface, surf.GD=27rGG'XGT)'=2TcOIxGT)'; ce qui est encore la surface annoncée.
La sur&ce décrite par un côté, quelle que soit sa position par rapport à Taxe, est donc égale à la circonférence du cercle inscrit multipliée par la projection de ce côté sur Taxe. Si on ajoute les surfaces décrites par différents côtés, lesquelles sont absolument distinctes les unes des autres, on arrive au nnéme résultat. Ex. : surf.BGDE=rcirc.OI.(B'G' + G'D'-|-D'E') = circ.OIXB'E'; c'est-à-dire la circonférence du cercle inscrit multipliée par la projection sur l'axe de la ligne polygonale génératrice. G. Q. F. D.
Tliéorèine«
339. La surface d'une sphère est égale à la circonférence d^un de ses grands cercles multipliée par son diamètre
surf, sphère = cire. R X 2R.
(*; Rétablissez sur la figure la ligne IH , perpendiculaire menée del sur B'C, (faï a été omise.
En effet, inscrivons dans le demi-cercle ACF qui engendre la sphère {fig. précédente), un demi-polygone régdlîer quelconque ^ ABCDEF. Nous savons que la surface décrite par ABCDEF,
surf. ABCDEF = 2uOI X AF. (1)
Imaginons que le nombre des côtés du demi-polygone augmente indéfiniment, ces côtés devenant infiniment petits; on sait qu'alors la surface engendrée par le contour du demi-polygone tend vers une limite qui est la surface de la sphère^ tandis que le rayon du cercle inscrit tend vers le rayon, R, de la sphère qui est sà limite; la projection AF de la ligne polygonale reste la même; AF = 2U. L'égalité (1), constamment vraie, quel que soit le nombre des côtés du demi-polygone, devient à la limite
surf. sph. == 2t:R X 2R = ^ttR».
540. REMioiQUBs. La surface d*un€ sphère ast égale à Quatre grands cercles.
Soit D=2R le diataètre de la sphère; D«=4R»; d*où sutfacé «phèrô = icD*. La surface d'une sphère est égale à celle â^un cercle qui a/urait pour rayon le diamètre de cette sphère.
341. De la zone, on appelle zone la partie de la surface d'une
sphère comprise entre deux plans parallèles.
Les deux cercles, cercle BI et cercle AH, qui comprennent une zone, sont les bases de l^cette zone; la distance IH de ces deux base» est la hauteur de cette zone.
L*un des plans parallèles qui comprennent une zone peut être tangent à la sphère, au point C, par exemple. Alors la zone est dite à une base; ex.: zone ACA' et zone BGB' ; c'est ce qu'on nomme quelquefois une calotte sphérique.
La zone egt la surface que décrit Tare AB en faisant ime révolution autour de Taxe IH.
Tltéorème.
542. La surface d*une zme est égale au produit d'une circonférence de grand ce^xle multipliée par la hauteur de cette iône;
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surf, zone AB = 2itR x IH ; (00 = R).
En effet, imaginons qu^on inscrive dans Tare AB une ligne polygonale régulière ANE; surf. ANE =2TrOKxIH. (i) (n** 338).
Imaginons que Ton double indéfiniment le nombre des côtés de ANE; la surface décrite par la ligne polygonale tend vers une limite qui n'est autre que la zone elle-même, tandis que OK tend vers sa limite qui est le rayon de la sphère; l'égalité (1), constamment vraie, quel que soit le nombre des côtés de la ligne polygonale, devient à la limite
surf, zone = 27tR X IH = 2irR x H ,
si nous désignons par H la hauteur de la zone.
545. Corollaire. Deux zones quelconques de la même sphère sont entre elles comme leurs hauteurs.
Remarque. Des cordes égales inscrites en divers endroits d'une demi-circonférence engendrent des zones inégales ; la plus grande de ces zones est engendrée par la eorde parallèle à Taxe; car celle-ci a la plu» grande projection.
Tltéorème*
544. Le volume engendré par un secteur polygonal régulier OBGDE, tournant autour d^un diamètre^ AF, du cercle circonscrit , est égal à la surface décrite par le contour polygonal ECDE , base DU SECTEUR, multipHéc par le tiers du rayon du cercle inscrit (*).
vol. OECDE = surf. ECDE X - 01.
Le secteur polygonal peut se décomposer en autant de triangles
isocèles BOC, COD, etc., que sa base a de côtés ; ces triangles engendrent des volumes distincts les uns des autres, que nous allons évaluer. Pour cela, nous remarquerons que tous ces triangles ont un sommet commun situé sur Taxe ^ que le côté opposé à ce som-
(*) Nous appelons secteur polygonal régulier celui qui a pour base une ligne polygonale réglière.
âl6 COURS DE GÉOMÉTRIE.
met dans chaque triangle ne peut avoir, quel que soit le nombre des triangles^ que Tune de ces trois positions : être adjacent à l'axe^ comme AB; non adjacent^ sans être parallèle^ comme BG; parallèle comme CD. Nous allons considérer ces trois cas.
y Le côté AB est adjacent à l'axe. Le volume engendré par le
B triangle OAB, que nous appellerons vol. AOB, est
Ty\^^ la somme des volumes des deux cônes décrits par
a /IP^^^ les triangles ABH, BHO, tournant autour de AO.
On sait que vol. ABH = - ttBH X AH
vol. 0BH=-7rBH XHO.
La somme vol. ABO = - ttBH X AO . (4)
Vol. ABO = -^BHxBHxAO; or, le produit BHxHO exprime
le double de la surface du triangle ABO; la même surface, 2 ABO, quand on prend AB pour base, a pour mesure ABxOI; donc BHxHO = ABxOL Si l'on remplace BHxAO par ABxOI dans l'expression de vol. ABO, nous aurons
vol. ABO = J icBH X AB X OL
Mais d'une autre part, la surface décrite par la ligne AB, surf. AB, n'étant autre que la surface convexe du cône engendré par le triangle ABH, on a
AB surf. AB = SttBH X ^ = «BH X AB.
En remplaçant irBHx AB par surf. AB, dans vol. ABO, on trouve enfin
vol. ABO = surf. AB X - 01 ;
ce qui est la mesure annoncée.
