LIVRE VII

Remarque. Surf, sphère = 4itR*5 donc vol, sphère = - tcR^.

Soit D le diamètre de la sphère; R ^ â> ^'^ ~ 'ô'^ ^*^^ résulte

4 D' 4 vol. sphère = - it -— == — - ttD^ ou ,

vol. sphère = - ttD^.

546. Secteur sphérique. On donne le nom de secteur spkérique au volume engendré par un secteur circulaire tournant autour d'un diamètre adjacent ou extérieur; ex. : secteur OAG ou secteur 0GB {fig. ci-après).

Tliéorèine*

547. Le volume d^un secteur spkérique est égal à la zone qui lui sert de base, multiplié par le tiers du rayon de la sphère,

sect. sphér. OBG = zone BG x - OB.

En effet, inscrivons dans Tare BG une ligne polygonale régu- A lière BMG {*) ; le secteur polygonal OBMG engendre c un volume dont nous connaissons la mesure (n" 344).

0* vol. OBMG = surf. BMG X ^ 01. (1 )

Imaginons que Ton double indéfiniment le nombre des côtés ; le volume polygonal OBMG tend vers une limite qui est le secteur sphérique (n"* 344) ; tandis que surf. BMG tend vers sa limite qui est zone BG, et 01 vers une limite qui est le rayon OB=R de la sphère. L'égalité (1), constamment vraie, quel que soit le nombre des côtés de la Ugne polygonale régulière inscrite, devient à la limite

sect. sphér. OBG = zone BG x - OB. G. Q. F. D.

> 1 ■ ' ' I ■ Il Il» ■ Il m il ■ - I I iM»»^— p I I

(*) Marquei le point M an milieu éte l'arc BG et tirez BM, MG.

Remarque. Soit R le rayon de la sphère^ H la hauteur de la zone,

qui est la projection de Farc BG sur Taxe; zone BG = 2itR X H j

sect. sphér.OBC = 2itR.Hx r R = - itR'.H.

Tltéorème.

I. Le volume engendré par le segment eircidaire BMD est égal au sixième du cercle qui a pour rayon la corde du segment, multiplié par la projection de cette même corde sur Vaae,

vol.seg. BMD=-icBD X Biy.

En effet, le volume engendré par le gegment circulaire BMD est la différence

des volumes engendrés par le secteur circulaire OBBfD et le triangle isocèle OBD. Or on sait que

sect. sph. OBMD = - icOB* X B'D'

vol.OBD = |ïÔPxB'D'

donc vol. seg. BMD = 7 «B'D' X (ÔB* — 01*) =

Donc

jicBiyXBl-.