LIVRE VII

Remarque. Dans cette démonstration^ nous n^avons pas supposé le triangle AOB isocèle.

2° Le côté BC opposé au sommet qui est sur Vaxe n'est ni adja» cent y ni parallèle à Vaxe.

Ce côté BG prolongé rencontre Taxe en M. La figure CBMO

tournant autour de l'axe OM , on voit que

vol. OBG = vol. OMG — vol. 0MB.

Chacun des triangles CMC, 0MB se trouve dans le premier cas (1°). On a donc vol. OMG =

surf. MGx -01; vol. 0MB = surf. MB X- 01; donc vol. OMG — o 3

vol. 0MB, ou vol. OBG = ^ 01 . ( surf. MG — surf. MB) = ^ 01 X

surf. BG ; ce qui est la mesure annoncée.

3* Le côté opposé au sommet qui est sur l'axe est parallèle à cet axe.

Le volume décrit par la révolution du triangle OGD est égal au

cylindre engendré par le rectangle GDNP, dic I ^ minué des deux cônes engendrés par les deux

triangles GOP,DNO.

PÔ w— vol.GOD=vol.GDNP— voLGOP— vol.DNO. (i)

voLGDNP = Tt.GP xPN = 7rOI XPN.

vol. COP=-it.CP XPO = -icOI XPO.

vol. DNO = - icDN x0N = ^t:0I xON.

D'où on déduit; en vertu de Tégalité (1), vol.œD=it.<M*(pN— ipo— *ON) = ic.ôr(PN— |pn) =

SÔi*x|PN; ou vol. GOD = |ï^ X PN. (1)

Mais

d'où donc enfin

surf CD = 27rf3P X PN = 2itOI X PN ; surf. CD X ^ 01 = ^^ X PN;

vol. COD = surf. CD X - 01 ;

ce qui est la mesure annoncée.

Surf. AB , surf. BC , surf. CD , etc. , étant distinctes comme vol. OAB, vol. OBC, etc., en additionnant ces volumes, pris en nombre quelconque, on trouve, par ex, :

vol. OBCDE = (surf. BC + surf. CD + surf. DE) X - 01 =

surf. BCDE X ^ 01. C. Q. F. D.

Tltéoréme*

545. Le volume d'une sphère est égal à sa surface multipliée 'par le tiers de son rayon.

Inscrivons dans le demi-cercle AGE, qui engendre le volume de

la sphère , un demi-polygone régulier ABCDE.

c Ce demi-polygone, tournant avec le demi-

cercle , engendre un volume que nous venons d'apprendre à évaluer.

vol. ABCDE = sur£ ABCDE X - 01. [\)

Imaginons que Fon double indéfiniment le nombre des côtés du demi-polygone ; le volume engendré par ce demi-polygone tend vers une limite qui est le volume de la sphère (n° 337) ; tandis que surf. ABCDE tend vers sa limite qui est la surface de la sphère, et 01 vers une limite qui est le rayon R de la sphère. L^égalité (i), constamment vraie , quel que soit le nombre des côtés du demipolygone régulier, devient à la limite

vol. sphère = surf, sphère X - R. C. Q. F. D.