LIVRE VU

En effet, les angles trièdres qui correspondent à ces triangles, ayant leurs angles plans respectivement égaux , ont leurs dièdres égaux chacun à chacun (n« 267) ; donc les angles des triangles sphériques , respectivement égaux à ces dièdres , sont égaux chacun à chacun.

3&H. De même que deux angles trièdres , égaux dans toutes leurs parties, ne peuvent pas toujours coïncider (n° 267), de même deux triangles sphériques, égaux dans toutes leurs parties , ne coïncident pas nécessairement. Il faut , pour qu'ils puissent coïncider, que leurs parties égales soient semhlahlement disposées.

3M' Étant donnés un triangle sphérique, ABC, et le trièdre correspondant, si

l'on prolonge les aiétes AO, BO, CO, de celui-ci, jusque la surface de la sphère en A', B',C', on détermine un nouveau triangle A'B'C, dont tous les éléments sont évidemment égaux à ceux du triangle ABC (angles et côtés) ; néanmoins , il est impossible de faire coïncider les deux triangles. En effet, si les deux triangles coïncidaient, les plans des côtés coïncidant en même temps, les deux trièdres coïncideraient ; ce que nous avons démontré impossible , n° 268.

K On appelle triangles sphériques symétriques deux triangles qui, ayant leurs éléments égaux chacun à chacun , ne peuvent coïncider. - 390. Od peut encore obtenir, comme il suit, un triangle sphérique symétriqn e 4'un triangle donné ABC. Du point A comme pôle, avec une ouverture ide compas égale à la corde de AC, je décris un arc CmC' ; du point B comme pôle , je décris l'arc CnC; je joins le point A et le point B au point C par des arcs de grands cercles ; le triangle ABC ainsi formé , et le triangle donné ABC, ont évidemment les trois côtés égaux; ils ont donc aussi les angles égaux. Cependant il est , en général , impossible de les faire coïncider j ils ne peuvent coïncider que si AC=BC, et par suite A£':=: BG'. Les trièdres correspondants sont situés de part et d'autre de la face commune OAB (0 centre de la sphère). Si on essaye de ramener l'un d'eux du même côté de ce plan que l'autre , on trouve que les faces égales sont diversement disposées. Si on essaie de faire coïncider directement les deux triangles sphériques , en faisant tourner l'un d'eux autour du côté commun AB, il arrive que les concavités se regardent, ou que les concavités se trouvent adossées Tune à l'autre; la coïncidence est impossible.

801. li résulte de ce qui précède que les propositions qui concerpent les éléiiientA des angles sc^des, trièdres ou polyèdres, s'appliquent aux éléments des tnjmgles 0u polygones sphériques.

TliéQrème.

Un côté quelconque d'un triangle sphérique est plus petit que la somme des deux çfutfee.

Je mène les rayons OÂ,OB,OC; dans Tangle trièdre OABC, on a l'angle AOB<AOC+BOC; en remplaçant les angles par les arcs qui les mesurent, on trouve AB < AC + BC. C. Q. F. D.

Théorème.

303. La somme des côtés d'un triangle ou d^un polygone sphérique est moindre qu'une circonférence de grand cercle.

En effet , si l'on considère Tangle solide correspondant au triangle , ou au polygone , de ce que la somme des angles plans de cet angle solide est moindre que quatre angles droits (n° 266), on conclut que la somme des côtés du polygone , qui mesurent ces angles, est moindre que quatre quadrants ou une circonférence.

8B4. On démontre aisément par la superposition, comme on l'a fait pour les triangles rectilignes , les théorèmes suivants :

Detuc triangles sphériques sont égaux dans toutes leurs parties quand ils ont un angle égal compris entre côtés égaux chacun.

L'un de ces triangles peut coïncider avec l'autre ou avec son symétrique.

Deux triangles sphériques sont de même égaux dans toutes leurs parties quand ils ont un côté égal adjacent à des angles égaux chacun à chacun.

On démontre encore, comme dans le premier livre, les théorèmes suivants :

Dans un triangle sphérique isocèle , les angles opposés aux côtés égaux sont égaux,

La réciproque est vraie.

Dans un triangle sphérique , le plus grand côté est opposé au plus grand angle, et réciproquement.