LIVRE VII
Tliéorème*
L Si le triangle A'WC est le polaire du triangle ABC , réciproquement ABC est le polaire de A'B'C [fi^, précédente).
En effet le point B étant le pôle de A'C, l'arc de grand cercle qui joindrait A'B' est un quadrant ; de même C étant le pôle de A'B', l'arc CA' serait un quadrant ; le point A', étant distant d'un quadrant de deux points B et C de l'arc BC, est le pôle de l'arc BC (n*> 332). On démontrerait de même que B' est le pôle de AC, et C le pôle de AB.
Tliéorème*
SSI. Étant àxmnés deux triangles polaires ABC, A'B'C, chaque angle de l'un de ces triangles a pour mesure une demi-circonférence , moins le côté opposé de Vautre triangle.
Prolongeons les côtés de ABC jusqu'à rencontrer ceux de A'B'C. Le point A
étant le pôle de B'C, l'angle, A, a pour mesure FG; B' étant le pôle de AC, B'6= 1 quadrant; C étant le
pôle de AB, C'F = 1 quadrant; donc B'G + CT = -
clrconférence. Si on décompose C'F en GC + FG , cette
égalité devient B'G + GC' + FG = B'C + FG = ^ circon-
férence, d'où FG = '- circonférence -FC; omis FG me-
sure l'angle A ; donc l'angle A a bien pour mesure une demi-circonférence , moins le côté opposé du triangle polaire. On démontrerait de même pour les angles B et G.
Considérons l'angle A' qui a pour mesure l'arc ED décrit de son sonmiet comme pôle; le point C étant le pôle de l'arc A'B', CE = 1 quadrant ; de même
BD = 1 quadrant; donc CE + BD = - circonférence ; ou en décomposant BD ,
CE + CD H-CB = ED -H BC = - circonférence; d'où ED =-clrc. — BC; mais
ED est la mesure de l'angle A'; donc celui-ci a la mesure indiquée.
Si on considère les deux angles trièdres correspondant respectivement aux triangles ABC , A'B'C, on trouve que les angles plans de l'un sont les suppléments des dièdres de l'autre, et réciproquement.
Ces deux trièdres sont donc supplémentaires (V. l'Appendice du livre V}.
Tliéoi*ème*
WBS.Deux triangles sphériques qui ont les angles égaux, chacun à chacun, sont égaux dans toutes leurs parties.
âSO COURS DE GÉOMÉTRIE.
En effet les triangles polaires des triangles proposés ont évidemment les côtés égaux chacun à chacun , et par suite les angles égaux (n* 356) ; de l'égalité de ces angles résulte celle de leurs suppléments , qui sont les côtés des triangles proposés.
Théorème.
K La somme des angles d*un triangle sphérique est comprise entre detis droits et six droits.
En effet, soient A, B, C les angles du triangle; a'^ b\ c\ les côtés opposés du triangle polaire. On sait que A + o'=l80»; B + b'=l80"; C-hc' = 180°; donc A-f B + C+a' + b'+c'=180»X3; A-f B + C=180»X3— (a'+b'+c'). Donc 1° la somme des mesures de A, B, C, est moindre que 3 demi-circonférences, mesure de six angles droits; d'ailleurs, a' -\-b'+c' est moindre qu'une circonf.; d'où il résulte que 3 demi-circonférences —{a'+h' + c') vaut plus qu'une demi-circonférence, mesure de deux droits ; donc A + B + C > 2 droits ; donc enfin 2<»r. <a + B + C<6 droits. C. Q. F. D.
390. Corollaire. La somme B-{-C, de deux angles d^un triangle sphérique est comprise entre deux droits moins le troisième y A , et deux droits plus ce troisième,
2dr — A<B4-C<2<»' -f A,ou 180°— A<B-f-C< 180*» +A.
En effet de A + B + C > 2d'- on déduit B + C > 2^^- —A. D'un autre coté a', b'y d étant les côtés du triangle polaire, l'inégalité a' < b' + c', revient à
2dr — A < 2dr. — B + 2dr. — C
d'où B + C >2dr.4-A ou B i C > 180«4-A.
87f . Remarque. Nous avons supposé, dans tout ce qui précède, chaque côté de triangle ou polygone sphérique moindre qu'une demi-circonférence; nous observerons cependant qu'il existe des triangles dont certains côtés pont plus grands que des demi-circonférences. En effet , un triangle ABC ayant ses trois côtés moindres que des demi-circonférences, si on prolonge l'un de. ces côtés, AC, de manière à achever la circonférence ACA'DA, on peut reniarquer qœ le triangle BAC étant retranché de l'hémisphère supérieur, il reste un triangle
formé par les côtés BC, BA et l'arc CA'DA> qu'une demicirconférence. Mais il est facile de voir qu'à part les côtés AC, BA communs aux deux triangles ; toutes les parties du second se déduisent de celles du premier (les angles sont supplémentaires, et CA'DA = 1 cire. — CA). Ayant déterminé les éléments du triangle ordinaire BAC, on connaît donc les éléments de l'autre. Toute question relative à ce dernier se ramène aisément à une question relative au premier.
