DISTANCES DE DEUX POINTS SUR LA SPHERE

TIléorème.

39^. Le plus court chemin d*un point à un autre sur là sv/rface jdelasplâre est Varc de grand cercle qui joint ces deux points. ' . . , '

Nous nous appuierons sur deux propositions auxiliaires. .

V La plus courte distance dupôle^V, d'une cir confier enee y tracée sur la sphère, à i*n point de cette circonférence est la même, quelque soit le point considéré. Par ex. ; la distance du point P au point À est la même que la distance de P à B,

Cela résulte de la symétrie parfaite d'une surface sphérique. On regarde cette proposition comme évidente.

On peut, si on veut, l'expliquer comme il suit : Imaginons une seconde surface

sphérique de même rayon que la proposée, recouvrant celle-ci, les mêmes points et les mêmes lignes étant marqués sur les deux surfaces. Faisons tourner la surface enveloppante autour de PP' comme axe; le point P restant fixe, le point B, parcourant la circonférencs BGA, arrive bientôt en A. Mais alors la plus court£ distance entre P et A, quelle qu'elle soit, est évidenunent égale à celle de P à B ; or celle-ci n'a pas changé parce que la surface sphérique a tourné; donc quelle que soit la position de B sur la circonférence, la plus courte distance entre P et B est la même qu'entre P et A.

2® Deux arcs- de grands cercles, PA, PD, étant issus du même point, si PD>PA, la plus courte distance sur la sphère entre P eth est plus grande que la distance entre P ef A {marquez un peint D sur BP'}.

Du point P comme pôle avec la corde PA comme rayon décrivons une circonférence; cette ligne rencontre l'arc PD au point B situé entre P et D {PB?=:PA doit être moindre que PD). Le plus court chemin de P en D, quel qu'il soit, rencontre quelque part la circonférence BGA ; supposons que ce soit en G. Ce plus court chemin se compose du plus court chemin de P en G, qui est égal au plus court chemin de P en A (1**) , plus le chemin de G en D; il est donc plus long que le chemin de P en A; G. Q. F. D. Soient maintenant A et B deux points quelconques de la surface de la sphère. Admettons que le plus court chemin entre A et B ne se fasse pas en suivant exactement l'arc AB ; et soit M un point de ce plus court chemin situé hors de l'arc AB. Je joins le point M aux points A et B par des arcs de grands cercles , AM , MB. Le plus court chemin de A en B se compose, d'après l'hypothèse, du plus court chemin , c, de A en M , plus le plus court chemin , c', de M "^ en B; ce chemin égale c + c'. Il résulte de là que l'arc AM est plus

petit que Tare AB; car si on avait AM = AB, ou AM > AB, on aurait, d'après 1» ou 2% c^^c-^c' ou c>c + c'; ce qui est absurde. AM étant moindre que

AB, je puis prendre sur A6 un arc ÂN=ÂM. Gela posé, j'observe que dans le Uiangle AMB, on a AB < AM + MB , ou AN + NB < AM + MB ; d'où NB < MB. L'arc NB étant moindre que MB, il résuite de 2'* que le plus court chemin de N en B, que nous appellerons c'\ est pius court que le plus court chemin, c', de N en B. Nous conclurons de là que le plus court chemin de A en B, en passant parN, ou c-{-c", (AN=AM), est moindre que c-f-C, qui est le pius court chemin de A en B, en passant par M. L'hypothèse que le plus court chemin de A en B passe par un point M , situé hors de l'arc AB, est donc fausse , puisque nous trouvons un autre chemin plus court que celui-là ; donc le plus court chemin ne quitte pas l'arc AB. G. Q. F. D.

393. DÉFINITIONS. On appelie fiAseau la portion , PAP'B , de la surface d'une

sphère comprise entre deux demi-grands cercles qui se terminent à un diamètre commun.

Un onglet sphérique est la partie du volume de la sphère comprise entre ces mêmes demi -grands cercles , et à laquelle le fuseau sert de base.

Une pyramide sphérique est une partie du volume de la sphère comprise entre les plans d'un angle solide dont le sommet est le centre de la sphère , et le polygone sphérique intercepté par les faces de cet angle. Ge polygone est la hase de la pyramide.

Pour que deux pyramides sphériques coïncident, il faut et il suffit que leurs hases coïncident, (Deux arcs de grands cercles ne peuvent coïncider sans que leurs centres coïncident.)

DE l'àIRE d'un fuseau, d'uN POLYGONE OU D*UN TRIANGLE