LIVRE I

63 biê. Corollaire I. Un triangle ne peut avoir qu^un seul angle draitj ou un seul angle obtus.

Autrement la somme de ses angles vaudrait plus de deux droits.

64. Corollaire II. La somme des deux angles aigus d*un triangle rectangle est égale à un droit.

65. Corollaire ÏII. Si deux angles A, B, d^un triangle ABC , sont égaux^ chacun à chacun, à deux angles D^ Ë d'un autre triangle, DEF, le troisième angle du premier triangle est égal au troisîàfiie angle du second.

En effet, des deux égalités A +B + C= 2 droits, D+E+F = % droits, on conclut A4-B4-C = D+E-f F; d'où, à cause de A + B==D + E, résulte C = F.

66. Quand deux triangles rectangles ont un angle aigu égal, oela leur fait deux angles égaux chacun à chacun; le second angle aigu de l'un est donc égal au second angle aigu de l'autre.

67. Connaissant deux angles d'un triangle, on obtient le troisième en retranchant de deux angles droits la somme des angles donnés.

Théorème*

68. La somme des angles d'un polygone est égale à autant de fois deux droits qu'il a de côtés moins deux.

Ex. : Si le polygone a 6 côtés , 6 — 2=4'; la somme des angles du polygone est égale à 4 fois 2 droits, ou 8 angles droits.

Soit ABCDEF un polygone donné. Je joins le sommet A à tous les sommets du polygone; j'obtiens ainsi autant de triangles qu'il y a de côtés dans le polygone moins 2 (moins les deux qui passent en A), fl est facile, en faisant maintenant la revue des angles du polygone, de voir que ces angles se composent avec les angles des triangles ; donc la somme des angles du polygone est précisément la même que celle des angles des triangles. La somme des angles de chaque triangle vaut deux droits; le nombre des triangles est égal au nombre des côtés du polygone, diminué de 2; donc la somme des angles des triangles, ou ce qui est la même chose, la somme des angles du polygone, est égale à autant de fois deux droits qu'il y a de côtés dans le polygone, moins deux

droits multipliés par le nombre des côtés du polygone diminué de 2. C. Q. F. D.

Si n désigne le nombre des côtés du polygone^ la sonmie des angles est égale h a^'^^^'X (n— 2) = 2n'»'— 4'''-

DÉFINITIONS

69« Après le triangle vient le polygone de quatre côtés qu^on nomme quadrilatère.

Le polygone de 5 côtés s^appelle;7ento9one^ de 6 oôtés^ hexagone; de 8 côtés, octogone; de 10 côtés^ décagone; de 12 côtés, dodécagone; de 15 côtés, pentédécagone ; les autres polygones se désignent habituellement par le nombre de leurs côtés; on dit un polygone de 7 côtés, de 13 côtés, etc.

70. La somme des angles d^un quadrilatère est égale à ^'x (4 — 2) = 2*^X2 ou 4 droits; si ces angles sont égaux entre eux, chacun d'eux est droit.

La somme des angles d'un octogone est 2*'»***x(8 — 2) =6 fob 2droits=12droits; si ces angles sont égaux, chacun d'eux vaut

~ ou - d'angle droit, etc.

71. On appelle polygone équilatéral celui qui a tous ses côtés égaux; polygone équiangle , celui dont tous les angles sont égaux.

On appelle polygone régulier un polygone qui est à la fois équiangle et équihUéral, c'est-à-dire qui a ses côtés égaux et ses angles égaux.

Deux polygones sont dits équiangles entre eux^ quand tous les angles du premier sont égaux, chacun à chacun, aux angles du second.

72. Nous allons maintenant étudier les propriétés de certains quadrilatères.