ET DE LEURS DIAGONALES

Tltéorème.

75. Les côtés opposés d'un parallélogramme sont égaux ainsi que les angles opposés.

Menons la diagonale BD ; elle décompose le parallélogramme en

deux triangles ABD, BCD qui sont égaux j en effets ces deux triangles ont le côté commun BD ; Tangle ABD = Pangle BDC {alternes internes formés par les parallèles AB^GD et la sécante BD); l'angle ADB = Fangle DBG (alternes internes formés par les parallèles AD^BG); nos deux triangles ont donc un côté égal, BD^ adjacent à deux angles égaux ^ chacun à chacun. Ges deux triangles étant égaux, le côté AB opposé à l'angle ADB est égal à GD opposé à l'angle égal DBG ; de même AD opposé à Tangle ABD est égal à BG opposé à l'angle BDG. Enfin ^ Fangle A et Fangle G opposés au côté commun DB sont égaux; l'angle ADG = l'angle ABG^ puisque ces deux angles sont composés de parties égales chacune à chacune.

74. GoROLLAiRE I. Dcux parallèles AD, BG comprises entre deux autres parallèles AB, GD sont égales.

75. Corollaire IL Si AD et BG étaient perpendiculaires à GD, elles mesureraient les distances des points A et B à la ligne GD ; conmie la figute n'en serait pas moins un parallélogramme, on aurait AD =: BG ; d'où ce théorème important :

Deux parallèles sont partout également distantes.

34 COURS DE CÉOMÉTRIE.

Tltéorème*

76. Si les côtés opposés d'un quadrilatère sont égaux, ils sont aussi parallèles f et la figure est un parallélogramme.

Soit AB = Ca) et AD = BC. Menons la diagonale BD; elle

décompose le parallélogramme en deux triangles ABD, BCD qui sont égaux comme ayant les trois côtés égaux; leurs angles sont donc égaux chacun à chacun. L'angle ABD opposé au côté AD est égal à Fangle BDG opposé au oôté BC; mais ces deux angles ABD^ BDC ont la position d'angles alternes internes formés par les deux droites AB, CD et la sécante BD; donc ces lignes AB, CD sont parallèles (59). De même Tangle ADB opposé à AB égale Tangle DBG opposé à CD; mais ADB et DBG sont alternes internes; donc les lignes AD, BC sont parallèles. Le quadrilatère A6CD est donc un parallélogramme. G. Q. F. D.

77. Si dans un quadrilatère ABCD, deux côtés opposés y AB, CD, sont égaux et parallèles , la figure est un parallélogramme.

Pour le démontrer, menons la diagonale DB; elle décompose le quadrilatère en deux triangles ABD, DBC qui sont égaux comme ayant Tangle ABD = BDC (alternes internes formés par des parallèles AB, CD) ; le côté BD conamun ; et AB = DG par hypothèse. Ces triangles étant égaux ^ Tangle ADB opposé à AB est égal à Tangle DBG opposé à CD; or, ces angles sont alternée internes formés par les hgnes AD, CB coupées par BD ; AD et CB sont donc parallèles > et le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

Aux réciproques de notre premier théorème sur les parallélogrammes, on peut ajouter celle-ci :

79^. Si les angles opposés d'un qvMrilatère sont égaux, la figure est un parallélogram'me,

Ex. : Si A = C; B = l>; ABCD cst un parallélogramme. En effet, de ees deni égalités, en additionnant, on eonelut A4-B=:G+B; mais la umme