UVRE I
A + B + G + Dsidroits; donc sa moitié A + B = 2 droits. Or les angles
A et B ont la position d'angles intérieurs du même côté formés par les droites AD, BC, coupées par AB ; donc ces lignes AB, BG sont parallèles. Écrivant D =B et ajoutant avec A=3G> on trouve A+ D = B + G ; d'où A+ D =2 droits, ce qui prouve que AB et GD sont parallèles.
Théorème.
79. Les diagonales d'un parallélogramme se divisent mutuellement en deux parties égales.
En eflTet, les deux triangles AOB, COD sont égaux comme ayant
un côté égal AB=CD (74), adjacent à deux
B angles égaux , chacun à chacun , savoir :
OAB = OGD (alternes internes formés par
les parallèles AB, CD) ; OBA=ODG (alternes
internes formés par les mêmes parallèles).
Ces deux triangles AOB, COD étant égaux, on en conclut que
le côté OB, opposé à OAB, égale OD, opposé à Tangle égal OCD;
puis OA opposé à OBA égale OC opposé à ODC,
La proposition réciproque est vraie : si les diagonales d'un quadrilatère se divisent mutuellement en deux parties égales , la figure est un parallélogramme.
Nous la laissons à démontrer.
Théorème.
80. Les diagonales d'un losange se coupent en deux parties égales et à angles droits.
D^abord elles se divisent mutuellement en deux parties égales, car un losange est un parallélogramme , puisque ses côtés opposés sont égaux (76). Cela posé , les deux triangles AOB, BOC ont le côté jo^/ OB commun , AB = BC , par définition ; AO = OC ;
ces triangles sont donc égaux ; par suite, Tangle AOB opposé à AB est égal à BOC opposé à BC ^ ces deux angles égaux sont adjacents ; donc BG est perpendiculaire à AC , et réciproquement. La proposition réciproque de la précédente est vraie : si les dia-
86 COURS DE OÉOBIÉTRIË*
gorudes d^un quadrilatère se coupent en deux parties égales et à angles droits ^ la figure est un losange.
Nous laissons cette réciproque à démontrer ainsi que les propositions suivantes.
Les diagonales d'un rectangle sont égales.
Réciproquement, si les diagonales d'un parallélogramme sont égales , la figure est un rectangle.
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