CONDITIONS DE L^INTERSECTION ET DU CONTACT DE DEUX CERCLES

Théorème*

97. Deux circonférences ne peuvent se rencontrer en plus de deux points.

En effet, i'^ elles ne sauraient avoir trois points communs, A,B,C, en ligne droite; car une ligne droite ABC ne peut rencontrer chacune des drconférences en plus de deux points (n*" 82) ; ^ ces circonférences ne sauraient avoir trois points communs , non en ligne droite; car

Par trois points A, B, G non en ligne droite , on peut toujours faire passer une circonférence, mais on n'en peut faire passer qu'une.

Pour le démontrer, ayant mené les droites AB, BG, j'élève au

milieu de AB la perpendiculaire DE, et au milieu de BG la perpendiculaire FG. Ges deux perpendiculaires DE, FG se rencontrent; car si elles étaient parallèles, la ligne GB perpendiculaire à FG , étant prolongée, serait perpendiculaire à sa parallèle DE; comme déjà BA est par construction perpendiculaire à DE, il y aurait du même point B deux perpendiculaires BR, BD sur la même droite DE , ce qui est impossible; donc DE et FG se rencontrent en un certain point 0. Le point 0, comme appartenant à DE, est également distant de A et de B; OA=OB; ce même point 0, appartenant à FG, est également distantdeBetdeG;OB==OG;OA = OB=OG. Sidonc du point conune centre, avec OA pour rayon, on décrit une circonférence, cette circonférence passera par les trois points A, B, G. On peut donc faire passer une circonférence par les trois points A, B, G, non en ligne droite.

On n'enpeui faire passer qu'une. En effet, le centre d'une cir-

conférence quelconque passant par les trois points A, B, C> étaM également distant des points A-et B, doit se trouver sur la p»pendiculaire DE élevée au milieu de AB (46) ; ce même centre, également distant de B et de C, devra aussi se trouver sur FG ; i doit donc se trouver en , seul point commun à DE et FG } toute circonférence passant par les trois points A, B, C , a donc pour centre le point et le rayon OA = OB = OC ; elle n'est donc auln que la circonférence que nous avons déjà décrite et indiquée.

Théorème.

98. Quand deux circonférences se coupent, la droite qui jmt leurs centres (la uowi des cbittres) est perpendiculaire à la corde commune et la divise en deux parties égales.

Pour le prouver, je fais tourner la partie supérieure de la figote

autour de la ligne AB comme charnière ^ jusqu'à ce qu'elle soit rabattue sur It partie inférieure; cela fait^ chaque demicirconférence supérieure coïncide avec son égale inférieiu^e (84). Mais le point M commun aux deux demi-circonférences mobiles doit tomber à la fois sur les deux demi-circonférences inférieures ; il tombe donc sur leur point d'intersection M' ; or le point I n^a pas bougé. Donc IM coïncide avec IM' ; IM = IM'; de plusTangle OIM coïncide avec OIM'j OIM=OIM'; mais ces angle sont adjacents, donc ils sont droits. La ligne 00' est donc perpendiculaire à MM' et la divise en deux parties égales. On démontre exactement de même le théorème suivant :

Tltéorèiue.

99. Si deux circonférences ont un point commun y M, d^un càti de la ligne des centres , 00', elles ont un autre point commun de Vautre côté de cette ligne y symétriquement placé*

DÉFINITION. DeiLX points symétriques par rapport à une droite sont deux points situés sur une même perpendiculaire à cette droite, à égale distance de cette ligne.

Ex. : Les points M> M' de la figure précédente sont symétriques

LIVRB II. 47

par raïqpori à 0(y. Soient les deux drconférences 0^ 0' (figure précédente)^ que nous supposerons seulement avoir le point commim M au-dessus de la ligne des centres. Achevons les circonlârences^ puis faisons tourner la partie supérieure de la figure autour de 00' comme charnière; chaque demi- circonférence supé* rieure coïncidant avec son égale inférieure^ il en résulte que la figure inférieure est exactement la même que la figure supérieure; les deux demi-cbconférences inférieures ont donc aussi un point conmiun M' sur lequel vient tomber le point M ; si on tire MM' qui rencontre 00' en I, on voit que TM couvre IM'; IM = IM'; et Tangle OIM = OIM'; ces deux angles sont droits et les deux points M et M' sont symétriquement placés par rapport à 00'.

100. DÉFINITION. Deux circonférences tangentes ou qui se touchent, sont deux circonférences qui n'ont qu'un point de commun. Le point commun s'appelle point de contact.

Deux circonférences peuvent être tangentes extérieurement ou iniérieurement , comme le montre notre figure.

Théorème.

101. Quand deux circonférences se touchent extérieurement ou intérieurement y le point de contact est sur la ligne des centrcb.

En eflfet, si le point commun aux deux circonférences était situé en dehors de la ligne des centres, il y aurait de l'autre côté de cette ligne, par rapport à ce point, un deuxième point commun (99); les circonférences ne seraient donc pas tangentes ^ mais se couperaient. La réciproque est vraie :

Si deux circonférences ont un point commun sur la ligne des centres, elles sont tangentes.

Nous la laissons à démontrer.

102. Positions diverses de deux circonférences sur un même plan; relations entre la distance des centres et la somme ou la différence des rçLyons.

Nous désignerons les distances des centres par D^ le plus grand rayon par R et le plus petit par R'.

Deux circonférences tracées sur un même plan peuvent avoir l'une par rapport à Tautre cinq positions différentes que nous allons indiquer (*).

i^ Les circonférences peuvent être extérieureê Tune à Fautre.

Dans cette position évidemment, 00'> OA+O'A', c'est-à-dire :

2" Les circonférences peuvent se toucher exUrieurement.

Le point de contact étant sur la ligne des centres (101), on a évidemment 00'=OA-f- O'A , ou

30 Les deux circonférences se coupent