LIVRE II

traire à Thypolbèse; ou bien on aurait AB<CD^ et par suite 0E> 01 (théorème précédent); ce qui est également contre Thypotbèse. La corde AB ne pouvant être ni égale à CD^ ni plus petite qua CD, est plus grande que CD. C. Q. F. D.

Condition pour qvHune droite soit tangente à une circonférence,

Tltéorème*

94. Pour qu'une droite soit tangente à une circonférence, il faut

et il suffit qu*elle soit perpendiculaire à l'extrémité d^un rayon»

1* Toute droite AB perpendiculaire à Vextrémité^ C, rf'wn rayon OC est tangente à la circonférence.

En effet, joignons le centre à im autre point quelconque , D, de AB. La droite OD, oblique sur AB, est plus longue que le rayon OC (perpendiculaire); donc le point D est situé en dehors de la circonférence. Tout point de AB, autre que C^ étant situé hors de la circonférence, la ligne AB est une tangente à cette circonférence (83).

La condition indiquée est donc suffisante.

2® Toute tangente^ AB, est perpendiculaire au raytm, OC, qui va ou point de contact.

En effet, si nous joignons le centre à un autre point quelconque D, de AB, lequel est nécessairement extérieur au cercle, la ligne OD sera plus longue que le rayon OC; ce rayon OC étant la plus courte ligne que Ton puisse mener du centre à la ligne AB, est la perpendiculaire unique qu'on peut mener de sur AB (42) .

Corollaire L Par un point donné sur une circonférence on ne peut mener qu'une tangente à cette circonférence.

En effet, si on pouvait en mener deux, il y aurait deux perpendiculaires en ce point à la même droite (le rayon).

95. Corollaire U, Si on abaisse du centre une perpendiculaire sur une tangente, cette ligne va d'elle-même passer au point de contact.

En effet, si cette perpendiculaire prenait ime direction OD, différente de OC (figure précédente) , comme le rayon OC est luimême perpendiculaire h la tangente , il y aurait du même point

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deux perpendiculaires à la même droite AB , ce qui est impossible.

GoROLLAiRB lU. Ou démoiitre de même que la perpendiculaire élevée sur une tangente au point de contact va passer par le centre.

96. Si deux droites parallèles rencontrent une circonférence, elles interceptent des arcs égaux.

n peut se présenter trois cas :

4' Les deux parallèles AB, CD sont sécantes.

J'abaisse du centre le rayon OR perpendiculaire sur CD , et par

suite sur sa parallèle AB; ce rayon divise les

j arcs CKB, ARB , chacun en deux parties égales;

D de sorte que

CK=KD AK=KB.

D'où, par soustraction, CK— AK ou CA=:KD— KB ou BD; CA = BD; c'est ce qu'il faut démontrer*

2° L'une des parallèles est sécante et l'autre tangente. Soient AB, CD les deux parallèles proposées, je joins le centre

au point de contact; le rayon OE est perpendiculaire à la tangente CD (94), et par suite à sa parallèle AB ; OE étant perpendiculaire à la corde AB divise l'arc AEB en deux parties égales; donc AE = EB; ce qu'il faut démontrer.

3* Les deux parallèles sont tangentes à la circonférence. Soient CD, FR ces parallèles; menons à ces deux droites une parallèle AB qui coupe la circonférence; le rayon OE perpendiculaire à AB Test également à CD, et prolongé inférieurement, le sera à FR; cette perpendiculaire commune aux deux tangentes allant du centre à chacune d'elles, passe aux deux points de contact (95); c'est donc un diamètre qui divise la circonférence en deux parties égales EAD, EBH.

En rapportant ce cas au précédent, AB une fois menée, on au-

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fsk pu dîpe : AË=EB; AH=BH; d'où, par addition, AE+AH m EAH=EB+BH ou EBH.

Remarque. Deux tangentes parallèles ont leurs points de contact diamétralement opposés.

La réciproque est évidemment vraie.