IV

Le point de contact étant encore sur la ligne des centres (iOi), ■ on a évidemment 00'= OA — O'A, ou

5» Enfin les deux circonférences peuvent être absolument intérieures Tun à l'autre, sans se toucher.

On voit sur la figure que OA=00'+0'A'+A'A; d'où on déduit OA— O'A' = 00' + A'A ; donc OA— O'A' > 00', R — R' > D , ou bien

Les égalités ou inégalités (i), (2), (3), (4), (5), constituent autant de théorèmes faciles à énoncer.

Les réciproques de ces théorèmes sont vraies.

Si la distance des centres de deux circonférences est plus grande que la somme des rayons ^ D > R + R', ces deux circonférences sont extérieures l'une à l'autre.

En effet, dans toute autre position, comme on peut le voir, on n'aurait pas D > R + R'.

Si la distance des centres de deux circonférences est égale à la

été extérieure (I), viendra toucher extérieurement (H); puis s' avançant encore, eoQpera (111), puis touchera intérieurement (IV), puis enfin deviendra tout à lait intérieure (V). Si le mouvement de la petite circonférence continuait , die reprendrait les mêmes positions relatives, mais en ordre inverse. Ces positioiis sont done les seules possibles.

smnme des l'oyom , D = K + H', ces deux circonfé7*ences se touchent exférteurejnetd .

En effet, dans toute antre position^ on n'a pas D = R + R''

Et ainsi des autres réciproques.

En vue des applications, les diverses propositions qui précèdent se résument dans les énoncés suivants :

103. Conditions du contact et de l'intersection de deua: circonférences de cercles :

Pour que deux circonférences se touchent extérieurement , il faut i et il suffit que la distance des centres soit égale à la somme des ' rayons.

Pour que deux circonf&ences se coupent, il faut et il suffit que la distance des centres soit à la fois plus petite que la somme des rayons et plus grande que leur différence.

Pour que deux circonférences se touchent intérieurement , il faut et il suffit que la distance des centres soit précisément égale à la différence des rayons.

De même pour les positions (i) et (5)^

MFSURE DES ANGLES.

Théorème*

104. Si des sommets de deux angles pour centres on décrit deux oiY?* de même rayon , le rapport des deux angles est le même que celui des arcs compris entre leurs côtés.

On démontre d'abord aisément par la superposition (f^, n* 87), que si les arcs sont égaux, les angles sont égaux, et réciproquement.

Supposons ensuite que les deux arcs donnés aient une commune mesure contenue cinq fois dans y l'arc AB et trois fois dans A'B'.

\ Le rapport des deux arcs est, d'a-

JC<J l>^n AT-'-^^iî près cela, égal à - (^. TArith.). Jolgnons chacun des sommets et 0' aux {>oints de division des arcs