LIVRE II

opposés; nous formons ainsi huit angles égaux entre eux^ puisqu'ils

interceptent des arcs égaux ; il y a cinq de ces angles dans AOB et

trou dans A'OfB'; le rapport de ces deux angles est donc -, le

même que celui des arcs :

AOB AB p f. p j. ,,.

(*) Ce raisonnement démontre la proposition pour tous les cas où il existe entre les arcs une commune mesure, si petite qu'elle soit; nous concluons de là que cette proposition est vraie en général.

Quand les arcs AB, DF n'ont pas de commune mesure , on peut démon-

* , * AB AOB ^ , . , .

trer que les rapports r=r= , :jr=77: évalués avec la même ap-

Dr DËF

proximation quelconque sont toujours égaux (V. TArith. ,

Évaluons , par exemple, ces rapports à moins de 0,001.

Soit DK la millième partie de DF } portons cet arc DK sur

AB à parUr de A, autant de fois que possible; supposons

qu'il y soit contenu 1246 fois avec un reste IB moindre que

DK , de telle sorte qu'en portant DK une fois de plus , on

arrive en C au delà de B. Il résulte de là que AB contient

1246 , ^„ ^ 1 ^ j.. AB 1246

les j^ de DF, pas 0,001 de plus. On dit que :^ =j^ ,

à moins de 0,001.

Menons maintenant les lignes EK, 01, OC; l'angle DEK est la millième partie

de DEP; Aï valant 1246 DK, l'angle AOI = 1246 DEK= ^jj^de DEF (d'après

f)i r««leAOQ contient -355 de DEF, pas 0,001 de plus; on dit que

^ == 1?1Ë à moins de 0,001.

^ ^^ AB AOB

Le» ▼ilenw ippfochées è moins de 0,001 des rj^ppprts —, ^^ sgnt donc

égales, n en est de même évidemment de leurs valeurs approchées à moins éB «,0001, é^ 0,0001, et©.; ces rapporte sont donc égaux (AriUim., n" 309). On peut encore conclure d« cette mîmière :

Les deux rapports —, •■^~ conttranent le même nombre de millièmes, de