LIVRE II
lôutt de 6êUe-là que déritent toutes îés âutws (V. cUpfes n« 7) (•). Potir tfouvet là pttid gfuide commune mesure de deux ligues dotulées, on taiâonue et oti opétè éiâcteoiebt comme pour trouver le ptûâ graiid commun divtseùt de deux fiomfetes ; séulemetat les divisions se fbnt ici â Tâide dn comi»a8.
Soit 6 la plus petite des 2 lignes données : si 6 était éonténûè un nombre entief de fois dans Â, B serait évidemment la plus grande cOmjUune mesUfê. On éAX donc conduit à porter, avee lé compàâ, la ligne fi sur la ligne  autant de folâ ^Ue possfi>le. Supposons qu^elle y sôit contenue 3 fois avec tin réfttè ft :
Totttè enmmUttè meeÉUire de  et dé B M contenue un nombre entier de fbis diUs ai, «I pài* suite dan* R; c'est une commune mesuré de B et de R. Réel'' pfoqUMiettt, toute commune mesure de B et de h est éontenue un nombfé èihtier de fois dans 3B , et par suite dans A ; c'est une commune mesuri dé A ël de B. T^mtes les communes mesures de A et B étant les mêmes , chacune à chacune» que les communes mesures de B et R, la plus grande parmi les unes est la plus grande parmi les autires.
La irfai grande commune mesure de deux lignes données A et B, est donc la même (|ue la plus grande commune mesure de la plus petite des deux et du reste 9 R, de leur division.
P^nt tfouver la plus grande commune mesure de fi et de R , on pollefa ttec lë compas la ligne R sur B autant de fbis que possible. Supposons qu*elhi y suit contenue 2 fois avec un reste R' :
Le même raisonnement conduit à porter la ligne R' sur R autant de fois que possible; supposons qu'elle y soit contenue 5 fois avec un reste R^:
R=5R'+R", etc. (3)
On continue atosi Jusqu'à ce qu'un reste soit contenu exactement dans le pré-
cédeaU
D Msiâli #9 ce f alBonnement que si les deux lignes donné» A et B tel une commune mesure appréciable au compas , on trouvera leur plus grande commune mesure en opérant comme il va être indiqué.
3. ftÈGLE. Pour itouver la plits grande commune mesure de deux lignes iumà^ÉÊ à tl B; «H porie eme U eompo» hl pim petUte H^e, B jjKir fMMpie, met
n En frenant la plus grande commune mesure de deux lignes pour unité, on obtient là phi$ simple etpression dn rapport de ces lignes ; en elfet, eeité mesure e|t celle qui est contenue 1^ molps de f(^s dans (diacii|ie de^i ligcPes doi^
la plus ffrande, autant de fois que possible; si elle y est contenue un nombre entier de fois exactement, cette pliu petite ligne est la plus grande commtme mesure cherchée. S'il y a un reste R , on porte avec le compas cette ligne R lur B autant de fois que possible ; si on obtient ainsi un deuxième reste R', on porte la ligne R' sur R autant de fois que possible, et ainsi de suite jusqu'à u que Vune de ces divisions se fasse sans reste , ou bien que le reste devienne si petit qu'on ne puisse plus le porter avec le compas sur le reste précédent. Si k premier cas se présente , le dernier reste trouvé est la plus grande commuine cherchée des deux lignes données. Dans le second cas, on conclut que les deux lignes données n*ont pas de commune mesure aussi grande que le dernier reste, si elles en ont une.
4. Quand ces opérations ont fait connaître la plus grande commune mesure de deux lignes A et B, si on veut connaître leur rapport , on exprime par one égalité le résultat de chaque division ; puis on fait usage conune il suit des égalités que Ton a écrites :
On remonte de la dernière égalité à la première , en remplaçant chaque ligne qui entre dans une égalité quelconque par le nombre de lignes R'" qu'elle renferme. On a ainsi successivement
De ces valeurs de A et B on conclut que
5. Pour trouver la plus grande commune de deux arcs de cercle de même rayon , et par suite leur rapport, on opère exactement de la même manière qne pour deux droites.
r* Remarque. De ce que R" est la plus grande conmiune mesure des lignes
