LIVRE II
Z*" Si les deux circonférences données se coupent, D < R + R' ; les deux tangentes intérieures n'existent plus; D >R — R'; on peut construire deux tangentes extérieures.
4« Si les deux circonférences données se touchent intérieurement , comme on a D=R — R', D<R+R', il n'y a plus qu'une tangente commune, laquelle est extérieure; 01 et O'K se confondent.
5« Enfin , si les circonférences sont intérieures l'une à l'autre sans se toucher, on a à la fois D < R— R', D<R+R'; il n'y a plus de tangentes communes^ eomme on devait s'y attendre.
Problème*
150. Décrire sur une ligne donnée un segment de cercle capable d'un angle donné;
C'est-à-dire un segment tel que tous les angles qui y sont inscrits soient égaux à un angle donné.
Je tire une perpendiculaire IR au milieu de AB^ puis je fais en
B avec AB un angle ABC égal à l'angle donné M (115); au point B j'élève sur CB une perpendiculaire BF à BD; cette ligne rencontre IK au point 0; du point comme centre, avec le rayon OB, je décris une circonférence qui passe c en A et en B; le segment ANMB
de cette circonférence est le segment demandé. En effet, l'angle ABC = M a pour mesure la moitié de Parc AB; or chacun des angles , tels que M et N , inscrits dans le segment ANMB , a la même mesure.
Ce problème est toujours possible.
Le segment inférieur est capable d'un angle supplémentaire de Tangle donné M.
Remarque. Varc ANMB est le lieu géométrique de tous les points du plan situés au-dessus de AB, tels que si Von joint chacun d'eux aux points k efQ par des droites , on ait un angle égal à V angle donné.
On voit facilement, en effet, que si on joint A et B à un point intérieur ou extérieur à ce segment, on obtient un angle ayant
une mesure plus grande ou plus petite djfxe ^ AB, tnetore d« AMBsfiM.
IFmMÊèmm.
151. Trouver sur un plan un point M tel que deux lignes données, ^B, BC , soient vues de ce point sous des angles donnés , par exemple : AMB = 60«, BMCs=:IB*.
Il résulte de la dernière remarque que le point M doit se trouver
sur Tare du segment capable d'un angle de
y"""7^>^^\ 60° construit sur la ligne donnée ASj je
/ y4 V \S ç construis donc sur AB un segment (^{>aMê
I x VM ^ d'un angle dé 00^; dé même je CMstmb sur
^ ^ AB un segment capable d'un angle de 48*^;
le point M se trouvera sûr le nouvel arc. tï sera donc à la reâccnltre des deux arcs {%
D€ la fplui grande oomfnune mesure de deux lignes,
1. P«uT étaliier exactement le rapport de deux lignes , il faut connaître une coaunune mesure de ces lignes , c'est-à-dire une ligne qui soit contenue un nombre entier de fois dans chacune d'elles.
St deiix llgttes A et B ont une cofttmune mesure G , elles en ont une infinité; éH èffM, toutes len parUtto aliquotei de eette ligne G (ta BMàé^ i#B titra ^ son quarts elc») tout autant de communes mesures de A et B ; le quart de G, par exemple, est contenu dans  ou B quatre fois autant de fois que la ligne G ede même.
2. Parmi toutes les communes mesures que peuvent avoir deux lignes A st B| la plus grande est la plus importante et la plus facile à détermlnet; e^est d'ail-
(*) Si la somme de l'angle ABC (des droites données) et deç deux angles donnés àMB, BMG valait deux droits, le problème l)iroi)08é aurait nJHêlÀftllHé de sottitiond. Les deux cbiistructlona de segments eapables ptodulfalstit Ui É|Élh# circsnrérence passatlt par A« B, G, dont tous les pointa IntérisuriàftÉgle AiC répondraient à la question. Gela tient à ce que dans le quadrilatère ÀMGB la somme des angles opposés AMG + ABG==2 droits; il résulte de là que ce quadrilatère est inscriptiblë dans une circonférence , qui est aloirs la drèdnféréâéé unl^tie passant pàt léé ttois polrtts A, B, Ê.
