LIVRE III

CDE— ADC, et dae=cde — ade, etc ), et ainsi de suite; on arrive aiix derniers triangles AFË, afe qui sont dans le même cas que ABC et abc.

On peut choisir le sommet que Ton veut pour le joindre à tous les autres : donc^ en général^ les diagonales homologues de deux polygones semblables sont proportionnelles aux côtés homologues.

151. RÉCIPROQUE. Deux polygones ABGDEF, abcdef, décomposablés en un même nombre de triangles semblables et semblablement disposés, sont semblables.

En effet, la décomposition ayant lieu comme sur notre figure^ si on compare les angles des deux polygones, chacun à chacun, on les trouve deux à deux égaux entre eux, s'ils sont simples, B = 6, F = fy ou composés d'angles égaux; donc A = a; C=c, etc.; ces polygones sont équiangles. Ensuite les triangles semblables étant comparés successivement et par ordre, on a

AB AC BG Cp AD __ DE

ab ac bc cd ad rfc ' '^

nos polygones déjà équiangles ont les côtés homologues proportionnels; ils sont donc semblables.

Tltéorème.

l«5aJ. Les périmètres de deux pocygortes sernôladtes ABCDil-, abcdefy sont entre eux comme deux côtés homologues quelconques.

17 «• ♦ ^Afi •*• AB BG CD DE EF

En effet, on a, par définition, — ="t- =~J='T"^=~7

(fig. précéd.); d*où résulte, d'après un théorème d'arithmétique :

AB+BC + CD + DE + EF AB ,' . .. périm. ABCDEF

ab'\-bc-\'Cd-\-de-\-ef ab ^ périm. abcdef

AB = -r- , G. Q. F. D.

ab ' ^

Tltéorème.

155. Si du sommet de l'angle droit d'un triangle rectangle ABC, on abaisse une pet^pendiculair^e , AD, sur P hypoténuse; 1^ cette perpendiculaire est moyenne proportionnelle entre les segments qu^elle détermine sur Vhypoténuse; 2° chaque côté de l'angle dnoit est

moyen proportionnel entre l'hypoténuse entière et le segment ad* jacent*

Bp__AD ^«BC^AB BC AC