AB AD

de ces triangles • on trouve -r-=r = ^p } d'où on

déduit ABxAG = AD*.

Les deux théorèmes précédents, 1** et S*, s'énoncent quelquefois ainsi :

1* Deux cordes ^i se tûupent dans te cercle se divisent en parties réciproquement proportionnelles *

2** Si deux sécantes se rencontrent hors d'un cercle, les sécantes entières sont réciproquement proportionnelles à leurs parties extérieures.

Ces derniers énoncés se fondent sur la définition suivante qui appartient à l'arithmétique : Deux nombres à et h sont réciproquefneût proportionnels à deux autres , c et d, quand le produit des deux premiers est égal au produit des deux derniers, a X b = c X d.

Les réei|>roqtié8 des ^pofeitlons i^écédentes dont vraies, et il est quelque- Mê utile de les invoquer.

Ex. : Étant données deux droites AB, CD qui se coupent, si le produit des distances du point dHnterstction 0, à d$tM autres pointe X et h de Vune des droites est égal au produit des distances du même point à deux points C, D

de la seconde ligne, A0X0B=0CX0D, les quatre

extrémités A, B, G, D en question sont sfWt Une même

circonférence.

Eu effet, on peut toujours, par trois ée ots points

]i\^ \J^ A, B, C, faire passer une circonférence; supposons-la

Construite; elle doit passer au point h; en effet 1 si le deuxième point de rencontre de la circotifërètice avec CD était F, on aurait AOXOBrrOOXOF, nOèls où a d^l 0AX0B = 0CX0D; on aurait donc 0CX0F = 0CX0D, d'où CKDsrOFt la partie égale au tout ; ce qui est absurde. On arrive à une absurdité en supposant que la circonférence qui passe par A, B, G ne pa^sè )>àÉ par D; donc elle passe en ce point D.

On démontre de la même manière les deux autres réciproque».

LltftE ftl.

Problème»

Itf*. Dimef une ligné donnée AB tnun n&mbrê qudeonquê de parties égales.

BappMMU qu'on veuille la diviser en sept parties égales. Par

le pdnt A on mène une ligne Indéfinie, AX, sôus un angle quelconque. Sur cette ligne AX, on pprtg, à partir de A, sept longueurs égales entre elles , dont la première, AI, est prise quelconque, ni trop petite, ni trop grande. On joint le point C, extrémité de la dernière de ces longueurs, au point *B; on mène par le

point I une parallèle à BC ; soit IH. La

ligne AH est la septième partie de AB : car -r— = -— et AI est