LIVRE III

(fest-à-dire que ce produit reste le même quand on passe d'une sécante à une autre quelconque,

188. i^ Le point donné peut être dans le cercle. AB, GD étant des sécantes quelconques, on a OBxOA =

OCxOD. Pour le démontrer, je mène CB, AD; les triangles AOD, COB ont les angles en égaux ,

Tangle A = Tangle C ( même mesure , ^ BD ) ;

B=:D (même mesure, - AC); ces triangles sont

donc semblables. En comparant les côtés homologues, on trouve

— = — ; en réduisant ces rapports au même dénominateur, on

trouve les numérateurs égaux OBxOA = OC x OD. C. Q. F. D.

2* Le point donné peut être hors de cercle.

AB, AC étant des sécantes quelconques, on a ABxAD =

AC X AE. Pour le démontrer, je mène les lignes CD,EB; les triangles ABE, ADC ont l'angle A

DE); ils sont donc semblables. En comparant leurs côtés homologues, on trouve 777 = tt:;

A\j AU

d'où, en réduisant au même dénominateur, on déduit AB X AD = AC X AE. C. Q. F. D.

3* L^une des sécantes peut devenir tangente.

Soient la sécante AB et la tangente AD issues du même point A ; dans ce cas les deux points de rencontre d'une des sécantes et du cercle s'étant confondus en un seul, les deux distances du point A à la circonférence comptées sur cette sécante sont devenues ^ales; leur produit devient le carré de la tangente, de sorte que

l'on doit avoir ÂD* = AB X AC

Le carré de la tangente est égal au produit de la sécante par sa partie extérieure.

Autrement dit : une tangente et une sécante partant du même point, la tangente est moyenne proportionnelle entre la sécante ewtière AB et sa partie extérieure AC.

Pour le démontrer, je mène CD ^ DB ; œ qui donne délit triangles ADC^ ADB, semblables comme ayant Vmgle À commun, et l'angle ADC 2:2 l'angle B (même

mesure - CD) ; en comparant les côtés homologues