CENTRES DE SIMILITUDE
Dans le car où les deux polygones sont égaux, leur ceutre de similitude est situe' b l’infini s’il est externe; et s’il est interne il se trouve an milieu de chacune des droites qui lient deux à deux les sommets homologues. Dans certains cas, et paiticulièrement lorsque les polygones sont réguliers et d’un nombre pair de côtés, ils peuvent être disposés de manière b avoir S la fois un centre de similitude externe et u*ï centre de similitude interne.
Les centres de similitude jouissent [exclusivement] delà propriété d’être des points homolognes communs aux deux polygones. Ainsi leurs distances aux points homologues sont proportionnelles aux côtés homolognes. — Ce» distances 6c nomment des rayons de similitude.
Toute droite passant par un centre de similitude de deux polygones, est une ligne homologue commune aux deux polygones, et fait des angles égaux avec deux droites homologues quelconques. — Réciproquement , toute droite homologue commune passe par le centre de similitude (*).
N° î;i. Deux cercles 0,0* (fig. ao5), tracés dans un plan, ont, ainsi que deux polygones réguliers d’un meme nombre pair (n* 370) «le côtés parallèles chacun h chacun (n* 270), deux centres de similitude S, s , lesquels sont situés sur la ligne des centres de ligure, et à des distances de ces centres, proportionnelles aux rayons.
Les rayons de similitude sont proportionnels aux rayons des deux cer» clés , aboutissent aux extrémités des rayons parallèles, OA, O'A' ou O'u, font «les angles égaux avec les tangentes menées par ces extrémités, parta* gent les deux circonférences en arcs proportionnels aux rayons et par conséquent semblables (n®* afit et a6g) ; etc. , etc.
Lorsque les deux cercles sont extérieurs l’un à l’autre, comme dans la figure aa5 , ils ont quatre tangentes communes : le point d’intersection des tangentes extérieures est le centie de similitude externe [S] $ et le point d’in, tcrsection des tangentes intérieures est le centre de similitude interne [s].
Lorsque les doux cercles se touchent extérieurement, leur point de contact est le centre de similitude interne; il est le centre de similitude externe quand les deux cercles se touchent intérieurement.
(*) La proposition énoncée ci-dessus peut être généralisée de la manière suivante :
Lorsque deux polygones [directement] semblables sont placés d’une manière quelconque dans un plan , ils ont toujours [dans ce plan] un point homologue commun .
Ce théorème fait partie d’une série de propositions sur les figures semblables, démontrées par M. Cuasles. — En y nommant centre de similitude le point homologue commun, et rayons de similitude les droites qui le joignent anx autres points homologues, on retombe sur In proposition du texte, en supposant que les rayons homologues de similitude, aient, deux à deux, la même direction.
Fig. ai5.
210 uv. Il; CHAP. I; 5 II. —
Dans deux cercles concentriques , les deux centres de similitude se rénnitsent au centre commun.
Dans deux cercles égaux , le centre de similitude externe est situai l'infini sur la ligne des centres [de figure] ; et le centre de similitude interne est le milieu de leur distance.
Quand l’un des deux cercles dégénère en une ligne droite , les centres de similitude sont les extrémités du diamètre perpendiculaire à la droite. Chacun d’eux peut être, indifféremment, considéré comme centre dé similitude interne ou comme centre de similitude externe.
Quaml l’un des cercles se réduit i nn point, ce point est 11 la fois centre de similitude interne et externe.
§ II. — Conséquences des propriétés des Figures Semblables.
N° 272. Théorème IX. Fig. 226.
Fig. ai6. Dans un triangle quelconque ABC, la bissectrice AD de chaque angle A divise le côté opposé BC en deux segmens, BD , DC, directement proportionnels aux côtés adjacens AB, AC; — et réciproquement.
H n’y a lieu à démontrer la proposition que dans le cas où les deux côte's AB, AC, sont inégaux, et où, par conséquent, AD est oblique sur BC ( vojet le n° 164 ). Dans cette hypothèse , abaissons sur AD , des sommets B et C, les perpendiculaires BE et CF. Il en résultera deux triangles ABE , ACF, semblables comme équiangles (n° 26a); d’où la proportion
ab : ac :: be : cf :
mais les deux triangles BDE, CDF, sont aussi semblables par ]a même raison , d’où
BE : cf :: bd : cd :
donc AB : AC ” BD ; CD ; C. Q. F. D.
La réciproque est évidente (n° 49).
Seolie. — La bissectrice de l’angle supplémentaire adjacent h l’angle A, c’est-h-dire Ia perpendiculaire AD' è la bissectrice AD (n° 1 13 , c orotl. ]) , coupe aussi la base BC prolongée , en un point D' tri, que l’on a la proportion 1
ab : ac :: bd' : cd'.
— SIMIL. ; CONSÉQ. ; TRIANGLES. a|l
La démonstration de cette nouvelle proposition c»t en tout semblable» fa precedente. —[Nous avons distingue par des lignes ponctuées et des lettres accentuées , les parties de la figure qui s'y rapportent spécialement.]— (*).
. N- 275. Théorème X(**). Fig. 227.
Si par U sommet d’an angle B adjacent à la hase BC d'un triangle F- ABC, on mène une droits quelconque BG qui rencontre en un point G le cité opposé AC, prolongé s’il est necessaire, et que par le milieu F. de cette droite on mine une droite EA au sommet A du triangle, cette droite coupera la hase BC en deux parties CD, BD, qui seront entre elles comme le même côte AC est à la partie AG interceptée sur ce côté entre le sommet A du triangle et la droite quelconque BG.
Pour démontrer ce théorème, menons par le point Ç, parallèlement » BG, la droite CF terminée en F snr AD ou sur son prolongement. Alors les deux triangles semblables BED , CED , [donneront ’
BD : CD :: be : CF.
• Ensuite, les deux triangle, semblables AGE^ ACF, donneront encore
GE : CF :: ag : AC.
Or, i cause de BE= GE, ces deux proportions ont un rapport commun j d’où il résulte BD : CD ;; AG : AC; C. Q. F. D.
Sentie t,r. Si l’on a mené BG de manière que AG = AB, c’cst-ü-dirc
de manière qne le triangle ABG soit isocèle, on qno la droite AD partage l'angle A en deux parties égales , alors la proportion obtenue devient
bd : cd :: ab : ac. ü. .. 1.
• C’est, le cas particnlier démontré au numéro précédent (n° açj).
Seol. 3. — Si c’est au contraire le triangle ABC qui est isocèle et le* triangle ABG quelconque, la proportion
bd : cd :: ag : ac
,b!vicn‘ BD : CD :: AG r AB; > £
d’où il suit que dans tout triangle GAB, la droite AD qui joint le sommet d’un angle A au milieu du côté opposé, coupe la droite BC, menée de manière que AC=AB, en deux parties réciproquement proportionnelles aux côtés AB et AG.
(*} La longueur AB est dite partagée harmoniquement par les points D, D* ( J M. Ampère a donné , dans scs leçons au College de France, una nouvelle démonstration de la règle du parallélogramme des forces, fondée sur ce théorème dont nous lui devons la communication.
a 12 tiv. U ; ciiap. i ; § a. —
N0 274- Théorème XI. Fig. 228.
Fig. 138. Si (lu sommet A de l'angle droit d'un triangle rectangle ABC on abaisse une perpendiculaire AD sur l’hypoténuse , cette perpendiculaire partagera le triangle total en deux triangles partiels également rectangles , et l’hypoténuse en deux segincns qui seront les projections (a” 83, scol.) des deux autres côtes, sur sa direction. — Cela posé :
i° Les deux triangles partiels, ABD , ACD , sont semblables au triangle total, et par conséquent semblables entre eux }
i° Les lignes étant supposées évaluées en nombres,— La perpendiculaire AD est moyenne proportionnelle entre les deux segmens BD, CD, de l'hypoténuse ;
3° Chaque côté de l’ angle droit , AB ou AC, est moyen proportionnel entre sa projection, BD ou CD, sur l'hypoténuse , et l'hypoténuse entière}
4° Enfin — /' hj'po t en use BC est a un câlé de l'angle droit , AB on AC, comme Vautre cdtè , AC ou AB , est a la perpendiculaire AD.
Eu effet : — t°Les triangles ABC et ABD ont un angle commun B et chacun un angle droit ; donc ils sont semblables v'n° 26a) ; il en est de même des tiiangles ACB et ACD ; les triangles ABD et ACD sont donc aussi semblables eutre eux (n° a56 ; et dû ailleurs, ils ont les côtés perpendiculaires chacun à chacun; — voyez le n° 265 ).
2° Comparant entre eux les triangles partiels, on a :
bd : ad :: ad : dc;
3° Comparant le triangle total avec chacun des triangles partiels , on obtient les deux proportions :
bc : ab :: ab : bd | BC ; ac :: ac : dc ;
4" Enfin, comparant de nouveau le triangle total avec l'un des triangles partiels , on voit une
