POLYGONES SEMBLABLES

Ainsi — Deux polygones de n côtés sont semblables lorsqu’ils ont (n — 1) côtés consécutifs proportionnels et également inclinés entre eux, ... ou bien ... (n — 2 ) côtés consécutifs proportionnels et également inclinés entre eux ainsi qu'avec les deux autres côtés . . etc.

Si de plus, les polygones sontrf une espèce donnée, il résultede ce qui a été dit au numéro z5i , que le nombre des conditions de la similitude se trouvera encore réduit à un moindre nombre.

Par exemple, un parallélogramme étant déterminé par deux côtés et une diagonale [ou par deux côtés et l’angle compris, etc. (voyez les n"4 ig4 et suiv.)] , il s’ensuit que

Deux parallélogrammes sont semblables lorsque deux côtés consécutifs et une diagonale de l'un sont proportionnels à deux côtés consécutifs et une diagonale de l’autre [ou lorsqu’ils ont un angle égal compris entre des côtés proportionnels, etc. ].

De même, un rectangle étant déterminé par deux côtés consécutifs, il s’ensuit que

Deux rectangles sont semblables lorsque leurs bases sont proportionnelles à leurs hauteurs (n° 200).

De même encore — Deux losanges sont semblables lorsqu’un côté et une. diagonale de l’un sont proportionnels à un côté et

une diagonale de l’autre. — Etc. , etc

Par suite, si la détermination des figures d’une espèce donnée n’exige qu’une seule ligne , toutes les figures de cette espèce seront semblables, sans qu’il soit pour cela nécessaire d’établir d’autre condition.

Ainsi, le côté d’un carré suffisant à sa détermination ,

Tous les carrés sont semblables.

De même , — Tous les polygones réguliers de même espèce (n° 268) sont des figures semblables [dont les centres sont des points homologues, dont les rayons et les apothèmes sont des lignes homologues, etc.]

Mais — Deux lignes brisées régulières du même nombre de côtés sont semblables seulement lorsque leurs angles sont les mêmes ; — et alors — Les secteurs polygonaux réguliers correspondons sont aussi semblables. — Etc. , etc. . . .

• 208 LIV. Il; CHAP. I; § I. —

Tonte» le» courbe» pouvant être traitée» (u* n4°) comme <le» polygone» , ce que l’on vient de dire leur est également applicable.

Fig. m3. Ain»i , — Deux courbes de mime espèce ( Kg. axî ) sont semblables lorsque les lignes principales [AB , CD , et A' B' , C'D', par exemple] r l’ois dépend leur construction [lignes que l’on nomme pour cela, les paramètres de la courbe] sont proportionnelles ;

Et les ligures sont nécessairement semblables, sans antre condition, si le nombre de ces lignes piincipales se réduit k un , comme cela arrive pour le cercle [ligure qui n’a d’âutrc paramètre que son rayon] ; — en d’autres termes:

Le rayon d’un cercle suffisant à sa détermination , il s’ensuit que

Tous les cercles sont semblables.

On voit donc, en résumant ce qui vient d'être dit, que, si le rapport de similitude de deux figures d’une espèce donnée était une condition imposée d’avance, c’est-à-dire si les lignes de l’une des deux figures devaient être deux fois, trois fois... . aussi grandes que leurs homologues dans l’autre, le nombre des conditions de similitude serait précisément égal à celui des lignes principales relatives au genre de figures dont il s’agit. Mais, s’il faut simplement que les deux figures soient semblables , le rapport de similitude n’étant pas donné et restant arbitraire : alors , le nombre des conditions est égal au nombre de ces lignes, moins un.

N* 370. Remarque sur les Centres de Similitude. — Deux polygone» directement semblable» penveni être titué» »nr on même plan de manière & avoir leurs côtés homologue» parallèles ; et alors, le» angle» homologues ont le» côtés dirigés, ou dans le même sens chacun A chacun comme dans lespoly- Fig.334. Hone» ABCDE, abede (Kg. 334), ou en sens contraire comme dans le» polygones ABCDE, A'B'C'D'E'. — Suivant que le premier casa lieu on le second, les polygones sont dits semblablement situés ou inversement situés.

Lorsque deux polygones [directement] semblables sont semblablement ou inversement situes , il c»t facile de démontrer que les droites qui joignent les sommets homologues pris deux à deux, concourent toutes en un mime point [S]. Ce point , que l’on nomme centre de similitude , est dit externe dans le premier cas, en raison de ce qu’il est situé en dehors sur le prolongement de la droite qui lie chaque couple de points homologues ; il est dit interne dan» le sceond ca», parce qu’il e»t situé entre le» point» homologues. il faut bien observer qu'un centre de similitude interne peu t être hors de» deux polygone», et vice versd qn’on centre de similitude externe pourrait être en dedans de l’un et de l’autre.